Упр.8.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
a) корень x = х — 2; б) корень 3х = — 3; в) корень (2x — 1) = х; г) корень (3x-2) = х.
а) $$\sqrt{x}=x-2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x=(x-2)^2$$
$$x=x^2-4x+4$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$ (x-1)(x-4)=0 $$
$$x=1 \text{ или } x=4$$
Проверка:
$$x=1:\ \sqrt{1}=1,\quad 1-2=-1 \quad \Rightarrow \quad \text{не подходит}$$
$$x=4:\ \sqrt{4}=2,\quad 4-2=2 \quad \Rightarrow \quad \text{подходит}$$
б) $$\sqrt{3x}=2x-3$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x=(2x-3)^2$$
$$3x=4x^2-12x+9$$
$$4x^2-15x+9=0$$
$$D=15^2-4\cdot 4\cdot 9=225-144=81$$
$$x=\frac{15\pm 9}{8}$$
$$x_1=3,\quad x_2=\frac34$$
Проверка:
$$x=3:\ \sqrt{3\cdot 3}=3,\quad 2\cdot 3-3=3 \quad \Rightarrow \quad \text{подходит}$$
$$x=\frac34:\ \sqrt{3\cdot \frac34}=\frac32,\quad 2\cdot \frac34-3=-\frac32 \quad \Rightarrow \quad \text{не подходит}$$
в) $$\sqrt{2x-1}=x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x-1=x^2$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$ (x-1)^2=0 $$
$$x=1$$
Проверка:
$$\sqrt{2\cdot 1-1}=1$$
г) $$\sqrt{3x-2}=x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x-2=x^2$$
$$x^2-3x+2=0$$
$$ (x-1)(x-2)=0 $$
$$x=1 \text{ или } x=2$$
Проверка:
$$x=1:\ \sqrt{3\cdot 1-2}=1 \quad \Rightarrow \quad \text{подходит}$$
$$x=2:\ \sqrt{3\cdot 2-2}=2 \quad \Rightarrow \quad \text{подходит}$$
Ответ
а) $$x=4$$; б) $$x=3$$; в) $$x=1$$; г) $$x=1,\ 2$$.
