Упр.8.6 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б)* Докажите утверждение о возведении уравнения в четную степень.
в) Какое уравнение называют иррациональным? Как можно решать иррациональное уравнение?
а) При возведении уравнения в чётную степень могут появиться посторонние корни, потому что из равенства
$$f(x)=g(x)$$
следует
$$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m},$$
но обратное утверждение неверно: из
$$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}$$
может следовать не только
$$f(x)=g(x),$$
но и
$$f(x)=-g(x).$$
Поэтому при возведении в чётную степень могут появиться лишние, посторонние корни.
б) Пусть $$x_0$$ — корень уравнения
$$f(x)=g(x).$$
Тогда
$$f(x_0)=g(x_0).$$
Возведём обе части в чётную степень $$2m$$:
$$\bigl(f(x_0)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x_0)\bigr)^{2m}.$$
Значит, каждый корень исходного уравнения является корнем уравнения
$$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}.$$
Но обратное неверно, так как из
$$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}$$
следует
$$f(x)=g(x)\quad \text{или}\quad f(x)=-g(x).$$
Следовательно, при возведении уравнения в чётную степень могут появиться посторонние корни.
в) Иррациональным называют уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком корня.
Решают такие уравнения обычно возведением обеих частей в степень, соответствующую показателю корня, с обязательной проверкой найденных корней по исходному уравнению.
Ответ
а) При возведении уравнения в чётную степень могут появиться посторонние корни, так как из $$a^{2m}=b^{2m}$$ не следует обязательно $$a=b$$; возможно и $$a=-b$$.
б) Если $$x_0$$ — корень уравнения $$f(x)=g(x)$$, то $$\bigl(f(x_0)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x_0)\bigr)^{2m}$$, значит, все корни исходного уравнения являются корнями уравнения $$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}$$; обратное неверно, поэтому могут появляться посторонние корни.
в) Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком корня. Решают его обычно возведением в степень и последующей проверкой корней.
