Упр.8.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) (корень f(x))* (корень g(x)) = корень f(x)* g(x);
б) (корень f(x))/ (корень g(x)) = корень f(x)/ g(x);
в) alogaf(x)=f(x);
г) 2logaf(x)= logaf2(x);
д) logaf(x) + logag(x)= loga(f(x)g(x));
е) logaf(x) — logag(x)= loga(f(x)/g(x));
ж) 1/logf(x)(a) = loga(f(x));
з) 1/tgx = ctgx;
и) 1/ctgx=tgx;
к) 2tgx/(1+tg2x)=sin2x;
л) (1-tg2x)/(1+tg2x)= cos2x;
м) 2tgx/(1-tg2x) = tg2x.
Может ли применение той же формулы справа налево привести к потере корней?
При преобразовании уравнения слева направо посторонние корни могут появиться тогда, когда правая часть формулы определена при более широких условиях, чем левая. Тогда после преобразования в уравнение могут попасть значения, при которых исходное выражение не имеет смысла.
$$\sqrt{f(x)}\cdot \sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)g(x)}$$
Для левой части нужно $$f(x)\ge 0$$ и $$g(x)\ge 0$$. Для правой части достаточно $$f(x)g(x)\ge 0$$. Поэтому справа допустимы, например, случаи $$f(x)\le 0$$ и $$g(x)\le 0$$, которые не подходят для левой части. Значит, могут появиться посторонние корни.
$$\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}}=\sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}$$
Слева требуется $$f(x)\ge 0$$ и $$g(x)>0$$. Справа достаточно $$\frac{f(x)}{g(x)}\ge 0$$, то есть возможны и случаи $$f(x)\le 0$$, $$g(x)\le 0$$. Следовательно, при преобразовании могут появиться посторонние корни.
$$a^{\log_a f(x)}=f(x)$$
Левая часть определена только при $$f(x)>0$$. Правая часть может существовать и при $$f(x)\le 0$$, если не учитывать область определения логарифма. Поэтому возможны посторонние корни.
$$2^{\log_a f(x)}=\log_a\bigl(f^2(x)\bigr)$$
Для левой части нужно $$f(x)>0$$. Правая часть определена при $$f^2(x)>0$$, то есть при $$f(x)\ne 0$$. Значит, справа допускаются значения, при которых левая часть не определена, и могут появиться посторонние корни.
$$\log_a f(x)+\log_a g(x)=\log_a\bigl(f(x)g(x)\bigr)$$
Слева требуется $$f(x)>0$$ и $$g(x)>0$$. Справа достаточно $$f(x)g(x)>0$$, то есть возможны случаи $$f(x)<0$$ и $$g(x)<0$$. Поэтому при переходе слева направо могут появиться посторонние корни.
$$\log_a f(x)-\log_a g(x)=\log_a\frac{f(x)}{g(x)}$$
Слева нужно $$f(x)>0$$ и $$g(x)>0$$. Справа достаточно $$\frac{f(x)}{g(x)}>0$$, то есть возможны случаи $$f(x)<0$$ и $$g(x)<0$$. Значит, могут появиться посторонние корни.
$$\frac{1}{\log_{f(x)} a}=\log_a f(x)$$
Левая часть существует при $$f(x)>0$$, $$f(x)\ne 1$$, $$a>0$$, $$a\ne 1$$. Правая часть требует только $$f(x)>0$$, $$f(x)\ne 1$$. Если не учесть условия для основания логарифма, могут появиться посторонние корни.
$$\frac{1}{\tg x}=\ctg x$$
Левая часть существует при $$\tg x\ne 0$$. Правая часть определена при $$\sin x\ne 0$$. Поэтому справа допускаются значения, при которых левая часть не существует, и могут появиться посторонние корни.
$$\frac{1}{\ctg x}=\tg x$$
Левая часть существует при $$\ctg x\ne 0$$. Правая часть определена при $$\cos x\ne 0$$. Следовательно, при переходе слева направо могут появиться посторонние корни.
$$\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x}=\sin 2x$$
Левая часть существует при $$\cos x\ne 0$$. Правая часть определена при всех $$x$$. Значит, справа есть значения, при которых левая часть не определена, и могут появиться посторонние корни.
$$\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}=\cos 2x$$
Левая часть существует при $$\cos x\ne 0$$. Правая часть определена при всех $$x$$. Поэтому при преобразовании слева направо могут появиться посторонние корни.
$$\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=\tg 2x$$
Левая часть существует при $$\cos x\ne 0$$ и $$1-\tg^2 x\ne 0$$. Правая часть определена при $$\cos 2x\ne 0$$. Эти условия не совпадают, поэтому при переходе слева направо могут появиться посторонние корни.
При применении той же формулы справа налево потеря корней возможна, если правая часть определена при более узких условиях, чем левая. Тогда некоторые допустимые для левой части значения не попадут в правую часть, и часть корней может быть потеряна.
Ответ
Да, при преобразовании слева направо могут появляться посторонние корни, если область определения правой части шире, чем у левой. При применении той же формулы справа налево возможна потеря корней, если область определения правой части уже, чем у левой.
