Упр.8 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 8 (СПбГПУ). Найдите натуральные числа n, для каждого из которых (НОД(n; 4))2 = n, где НОД (n; 4) — наибольший общий делитель чисел n и 4.

Обозначим $$d=\operatorname{НОД}(n;4).$$ Тогда по условию

$$d^2=n.$$

Так как $$d$$ — общий делитель чисел $$n$$ и $$4$$, то $$d$$ делит число $$4$$. Значит, возможны только значения

$$d=1,\ 2,\ 4.$$

Проверим их:

• если $$d=1,$$ то $$n=1,$$ и $$\operatorname{НОД}(1;4)=1,$$ подходит;
• если $$d=2,$$ то $$n=4,$$ и $$\operatorname{НОД}(4;4)=4 \ne 2,$$ не подходит;
• если $$d=4,$$ то $$n=16,$$ и $$\operatorname{НОД}(16;4)=4,$$ подходит.

Следовательно, искомые натуральные числа:

$$n=1 \text{ и } n=16.$$

Ответ

$$1,\ 16$$