Упр.8.42 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

lgx + lg(x — 2а) = lg4 имеет единственный корень.

Используем свойство логарифмов:

$$\lg x+\lg(x-2a)=\lg\bigl(x(x-2a)\bigr).$$

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению

$$\lg\bigl(x(x-2a)\bigr)=\lg 4,$$

откуда

$$x(x-2a)=4.$$

Получаем квадратное уравнение

$$x^2-2ax-4=0.$$

Его корни:

$$x_{1,2}=a\pm\sqrt{a^2+4}.$$

Теперь проверим, какие из них подходят по области определения логарифмов:

$$x>0,\qquad x-2a>0.$$

Для корня

$$x_1=a+\sqrt{a^2+4}$$

имеем

$$x_1-2a=\sqrt{a^2+4}-a.$$

Так как

$$\sqrt{a^2+4}>|a|,$$

то

$$x_1>0,\qquad x_1-2a>0.$$

Значит, $x_1$ удовлетворяет исходному уравнению при любом значении $a$.

Для корня

$$x_2=a-\sqrt{a^2+4}$$

получаем

$$x_2<0,$$

поэтому он не может быть корнем исходного логарифмического уравнения.

Следовательно, при любом значении параметра $a$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ

$$x=a+\sqrt{a^2+4}.$$