Упр.8.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) корень (log3 (2x — 1) + log2 (x — 4)) = корень (2 log3 (x — 2));
в) корень (log2 sinx + 2) = корень (1 — log2 cosx);
г) корень (log2 (-cosx) + 3) = корень (2 — log2 (-sinx)).
а) Возведём уравнение в квадрат:
$$\log_2(x+2)+\log_2(x+1)=\log_2(x-2)+\log_2(2x-1).$$
По свойству логарифмов:
$$\log_2\bigl((x+2)(x+1)\bigr)=\log_2\bigl((x-2)(2x-1)\bigr).$$
Тогда
$$ (x+2)(x+1)=(x-2)(2x-1). $$
Раскроем скобки:
$$x^2+3x+2=2x^2-5x+2,$$
$$x^2-8x=0,$$
$$x(x-8)=0.$$
Получаем кандидаты: $$x=0$$ или $$x=8$$.
Проверим область допустимых значений: $$x+2>0,\ x+1>0,\ x-2>0,\ 2x-1>0,$$ значит $$x>2.$$
Подходит только $$x=8.$$
б) Возведём уравнение в квадрат:
$$\log_3(2x-1)+\log_3(x-4)=2\log_3(x-2).$$
Используем свойства логарифмов:
$$\log_3\bigl((2x-1)(x-4)\bigr)=\log_3\bigl((x-2)^2\bigr).$$
Следовательно,
$$ (2x-1)(x-4)=(x-2)^2. $$
Раскроем скобки:
$$2x^2-9x+4=x^2-4x+4,$$
$$x^2-5x=0,$$
$$x(x-5)=0.$$
Кандидаты: $$x=0$$ или $$x=5$$.
ОДЗ: $$2x-1>0,\ x-4>0,\ x-2>0,$$ значит $$x>4.$$
Подходит только $$x=5.$$
в) Возведём уравнение в квадрат:
$$\log_2(\sin x)+2=1-\log_2(\cos x).$$
Перенесём логарифмы в одну сторону:
$$\log_2(\sin x)+\log_2(\cos x)=-1,$$
$$\log_2(\sin x\cos x)=-1,$$
$$\sin x\cos x=\frac12.$$
Тогда
$$\sin 2x=1,$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверка ОДЗ: должны быть $$\sin x>0$$ и $$\cos x>0.$$ Это выполняется при чётных $$n.$$
Значит,
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) Возведём уравнение в квадрат:
$$\log_2(-\cos x)+3=2-\log_2(-\sin x).$$
Перенесём логарифмы:
$$\log_2(-\cos x)+\log_2(-\sin x)=-1,$$
$$\log_2\bigl((-\cos x)(-\sin x)\bigr)=-1,$$
$$\sin x\cos x=\frac12.$$
Следовательно,
$$\sin 2x=1,$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверка ОДЗ: нужны $$-\cos x>0$$ и $$-\sin x>0,$$ то есть $$\cos x<0$$ и $$\sin x<0.$$ Это выполняется при нечётных $$n.$$
Значит,
$$x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=8$$; б) $$x=5$$; в) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.
