Упр.8.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) log3 (x — 2) = log9(3x — 6).

а) Преобразуем правую часть к основанию 2:

$$\log_4(5x+1)=\frac{1}{2}\log_2(5x+1)=\log_2\sqrt{5x+1}.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$\log_2(x+1)=\log_2\sqrt{5x+1}.$$

Приравниваем аргументы:

$$x+1=\sqrt{5x+1}.$$

Возведём в квадрат:

$$ (x+1)^2=5x+1 \\ x^2+2x+1=5x+1 \\ x^2-3x=0 \\ x(x-3)=0 $$

Отсюда:

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=3.$$

Проверка:

$$x=0:\ \log_2 1=\log_4 1,$$

$$0=0.$$

$$x=3:\ \log_2 4=\log_4 16,$$

$$2=2.$$

Оба корня подходят.

б) Преобразуем правую часть к основанию 3:

$$\log_9(3x-6)=\frac{1}{2}\log_3(3x-6)=\log_3\sqrt{3x-6}.$$

Тогда уравнение имеет вид:

$$\log_3(x-2)=\log_3\sqrt{3x-6}.$$

Приравниваем аргументы:

$$x-2=\sqrt{3x-6}.$$

Возведём в квадрат:

$$ (x-2)^2=3x-6 \\ x^2-4x+4=3x-6 \\ x^2-7x+10=0 \\ (x-5)(x-2)=0 $$

Получаем:

$$x=5 \quad \text{или} \quad x=2.$$

Проверка области определения: при $$x=2$$ аргументы логарифмов равны нулю, поэтому это значение не подходит. При $$x=5$$ получаем верное равенство.

Ответ

а) $$x=0,\ 3$$; б) $$x=5$$.