Упр.8.4 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 8.4

Появление посторонних корней связано с тем, что при преобразованиях могли быть выполнены действия, неравносильные исходному уравнению. Чаще всего это происходит при возведении обеих частей в квадрат, извлечении корня, умножении на выражение, которое может обращаться в нуль, или при сокращении на выражение, зависящее от переменной.

Поэтому после решения уравнения необходимо обязательно проверить найденные корни подстановкой в исходное уравнение и отбросить те, которые ему не удовлетворяют.

Если при проверке корень не подходит, он называется посторонним.

В данном случае посторонние корни появляются из-за того, что при преобразованиях не учитывается условие, при котором знаменатель не равен нулю.

Следовательно, нужно исключить значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

Для этого решаем уравнение, полученное из знаменателя:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Именно эти значения являются недопустимыми.

Аналогично, если в решении появляется второй набор значений, его также нужно проверить на допустимость:

$$x=-\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

После проверки оставляют только те корни, которые не обращают знаменатель в нуль и удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ

Посторонние корни возникают из-за неравносильных преобразований; недопустимые значения: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$