Упр.8.39 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\log_3\left(\sqrt{x}\right)+\log_3\left(\sqrt{x+8}\right)=1$$;
б) $$\log_2\left(\sqrt{x+3}\right)+\log_2\left(\sqrt{x+6}\right)=1$$;
в) $$\log_3\left(\sqrt{x+4}\right)+\log_3\left(\sqrt{x-4}\right)=1$$;
г) $$\log_4\left(\sqrt{x+3}\right)+\log_4\left(\sqrt{x-3}\right)=1$$.

Подробный ответ

а) $$\log_3\sqrt{x}+\log_3\sqrt{x+8}=1.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_3\left(\sqrt{x}\sqrt{x+8}\right)=1,$$
$$\log_3\left(\sqrt{x(x+8)}\right)=\log_3 3.$$
Тогда
$$\sqrt{x(x+8)}=3.$$
Возведём в квадрат:
$$x(x+8)=9,$$
$$x^2+8x-9=0,$$
$$x_1=1,\quad x_2=-9.$$
Проверка: при $$x=-9$$ подкоренное выражение $$x$$ отрицательно, значит, это значение не подходит. При $$x=1$$ получаем верное равенство.
б) $$\log_2\sqrt{x+3}+\log_2\sqrt{x+6}=1.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_2\left(\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)=1,$$
$$\log_2\left(\sqrt{(x+3)(x+6)}\right)=\log_2 2.$$
Следовательно,
$$\sqrt{(x+3)(x+6)}=2.$$
Возведём в квадрат:
$$(x+3)(x+6)=4,$$
$$x^2+9x+18=4,$$
$$x^2+9x+14=0,$$
$$x_1=-7,\quad x_2=-2.$$
Проверка: $$x=-7$$ не подходит, так как $$x+6<0$$. При $$x=-2$$ получаем верное равенство.
в) $$\log_3\sqrt{x+4}+\log_3\sqrt{x-4}=1.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_3\left(\sqrt{x+4}\sqrt{x-4}\right)=1,$$
$$\log_3\left(\sqrt{(x+4)(x-4)}\right)=\log_3 3.$$
Тогда
$$\sqrt{(x+4)(x-4)}=3.$$
Возведём в квадрат:
$$(x+4)(x-4)=9,$$
$$x^2-16=9,$$
$$x^2=25,$$
$$x_1=5,\quad x_2=-5.$$
Проверка: $$x=-5$$ не подходит, так как $$x-4<0$$. При $$x=5$$ получаем верное равенство.
г) $$\log_4\sqrt{x+3}+\log_4\sqrt{x-3}=1.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_4\left(\sqrt{x+3}\sqrt{x-3}\right)=1,$$
$$\log_4\left(\sqrt{(x+3)(x-3)}\right)=\log_4 4.$$
Следовательно,
$$\sqrt{(x+3)(x-3)}=4.$$
Возведём в квадрат:
$$(x+3)(x-3)=16,$$
$$x^2-9=16,$$
$$x^2=25,$$
$$x_1=5,\quad x_2=-5.$$
Проверка: $$x=-5$$ не подходит, так как $$x-3<0$$. При $$x=5$$ получаем верное равенство.