Упр.8.38 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) lg (x — 4) + lg(x — 6) = lg 8;
в) lg(x + 5) + lg(x — 4) = lg(x + 16);
г) lg(x — 3) + lg(x + 4) = lg(7x — 20).

1. а) Используем свойство логарифмов:

   $$\lg 2x-\lg(x+4)=\lg\frac{2x}{x+4}.$$

   Тогда

   $$\lg\frac{2x}{x+4}=\lg 0{,}4,$$

   откуда

   $$\frac{2x}{x+4}=0{,}4.$$

   Решаем уравнение:

   $$2x=0{,}4(x+4)$$

   $$2x=0{,}4x+1{,}6$$

   $$1{,}6x=1{,}6$$

   $$x=1.$$

   Проверка: $$\lg 2-\lg 5=\lg 0{,}4,$$ верно.

2. б) Применим формулу $$\lg a+\lg b=\lg(ab).$$

   $$\lg(x-4)+\lg(x-6)=\lg\bigl((x-4)(x-6)\bigr).$$

   Тогда

   $$\lg\bigl((x-4)(x-6)\bigr)=\lg 8,$$

   значит

   $$ (x-4)(x-6)=8.$$

   Раскроем скобки:

   $$x^2-10x+24=8$$

   $$x^2-10x+16=0$$

   $$x_1=2,\quad x_2=8.$$

   С учётом ОДЗ: $$x-4>0,\ x-6>0,$$ то есть $$x>6.$$

   Подходит только $$x=8.$$

3. в) Используем формулу суммы логарифмов:

   $$\lg(x+5)+\lg(x-4)=\lg\bigl((x+5)(x-4)\bigr).$$

   Тогда

   $$\lg\bigl((x+5)(x-4)\bigr)=\lg(x+16),$$

   откуда

   $$ (x+5)(x-4)=x+16.$$

   Решаем:

   $$x^2+x-20=x+16$$

   $$x^2-36=0$$

   $$x_1=-6,\quad x_2=6.$$

   По ОДЗ: $$x-4>0,$$ значит $$x>4.$$

   Подходит только $$x=6.$$

4. г) Применим формулу $$\lg a+\lg b=\lg(ab).$$

   $$\lg(x-3)+\lg(x+4)=\lg\bigl((x-3)(x+4)\bigr).$$

   Тогда

   $$\lg\bigl((x-3)(x+4)\bigr)=\lg(7x-20),$$

   значит

   $$ (x-3)(x+4)=7x-20.$$

   Решаем:

   $$x^2+x-12=7x-20$$

   $$x^2-6x+8=0$$

   $$x_1=2,\quad x_2=4.$$

   По ОДЗ: $$x-3>0,$$ значит $$x>3.$$

   Подходит только $$x=4.$$

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=8$$; в) $$x=6$$; г) $$x=4$$.