Упр.8.36 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) 2log5(x — 1) = log5(7 — x);
в) log7(x — 2) + log7(x + 3) = log7(2×2 — 4x);
г) log6 (x + 2) + log6 (x — 3) = log6(2×2 — 5x — 6);
д) lg(x — 2) — lg(x + 3) = lg x/(5x+ 3);
е) lg(x + 2) — lg(x — 3) = lg (5x+4)/x.

Подробный ответ

а) Область определения: $$x+1>0,\quad 4x+9>0.$$
Прологарифмируем левую часть:
$$2\log_4(x+1)=\log_4(x+1)^2.$$
Тогда
$$\log_4(x+1)^2=\log_4(4x+9),$$
откуда
$$ (x+1)^2=4x+9.$$
$$x^2+2x+1=4x+9$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$x_1=4,\quad x_2=-2.$$
Проверка: $$x=-2$$ не подходит, так как $$x+1<0.$$
При $$x=4$$ получаем верное равенство.
б) Область определения: $$x-1>0,\quad 7-x>0.$$
$$2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2.$$
Тогда
$$ (x-1)^2=7-x.$$
$$x^2-2x+1=7-x$$
$$x^2-x-6=0$$
$$x_1=3,\quad x_2=-2.$$
Проверка: $$x=-2$$ не подходит, так как $$x-1<0.$$
При $$x=3$$ получаем верное равенство.
в) Область определения: $$x-2>0,\quad x+3>0.$$
Сложим логарифмы:
$$\log_7(x-2)+\log_7(x+3)=\log_7\bigl((x-2)(x+3)\bigr).$$
Тогда
$$\log_7\bigl((x-2)(x+3)\bigr)=\log_7(2x^2-4x),$$
откуда
$$ (x-2)(x+3)=2x^2-4x.$$
$$x^2+x-6=2x^2-4x$$
$$x^2-5x+6=0$$
$$x_1=2,\quad x_2=3.$$
Проверка: $$x=2$$ не подходит, так как $$\log_7 0$$ не существует.
При $$x=3$$ получаем верное равенство.
г) Область определения: $$x+2>0,\quad x-3>0.$$
$$\log_6(x+2)+\log_6(x-3)=\log_6\bigl((x+2)(x-3)\bigr).$$
Тогда
$$\log_6\bigl((x+2)(x-3)\bigr)=\log_6(2x^2-5x-6),$$
откуда
$$ (x+2)(x-3)=2x^2-5x-6.$$
$$x^2-x-6=2x^2-5x-6$$
$$x^2-4x=0$$
$$x(x-4)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=4.$$
Проверка: $$x=0$$ не подходит, так как $$x-3<0.$$
При $$x=4$$ получаем верное равенство.
д) Область определения: $$x-2>0,\quad x+3>0,\quad x\neq 0,\quad 5x+3>0.$$
Используем свойство логарифмов:
$$\lg(x-2)-\lg(x+3)=\lg\frac{x-2}{x+3},$$
$$\lg\frac{x}{5x+3}=\lg\frac{x}{5x+3}.$$
Тогда
$$\frac{x-2}{x+3}=\frac{x}{5x+3}.$$
Перемножим крест-накрест:
$$ (x-2)(5x+3)=x(x+3).$$
$$5x^2-7x-6=x^2+3x$$
$$4x^2-10x-6=0$$
$$2x^2-5x-3=0$$
$$x_1=3,\quad x_2=-\frac12.$$
Проверка: $$x=-\frac12$$ не подходит, так как не выполняется область определения.
При $$x=3$$ получаем верное равенство.
е) Область определения: $$x+2>0,\quad x-3>0,\quad x\neq 0.$$
Преобразуем:
$$\lg(x+2)-\lg(x-3)=\lg\frac{x+2}{x-3},$$
$$\lg\frac{5x+4}{x}=\lg\frac{5x+4}{x}.$$
Тогда
$$\frac{x+2}{x-3}=\frac{5x+4}{x}.$$
Перемножим крест-накрест:
$$x(x+2)=(x-3)(5x+4).$$
$$x^2+2x=5x^2-11x-12$$
$$4x^2-13x-12=0$$
$$x_1=4,\quad x_2=-\frac34.$$
Проверка: $$x=-\frac34$$ не подходит, так как не выполняется область определения.
При $$x=4$$ получаем верное равенство.