Упр.8.35 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 8.35

1. а) Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{x-1}{x-2}+\sqrt{x}-\frac{2x-2}{x-6}-\sqrt{x}=0.$$

   Сократим одинаковые слагаемые:

   $$\frac{x-1}{x-2}-\frac{2(x-1)}{x-6}=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$ (x-1)\left(\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x-6}\right)=0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ (x-1)\cdot \frac{x-6-2x+4}{(x-2)(x-6)}=0, $$

   $$ (x-1)\cdot \frac{-x-2}{(x-2)(x-6)}=0. $$

   Отсюда:

   $$x-1=0 \quad \text{или} \quad -x-2=0.$$

   Получаем кандидаты: $$x=1$$ и $$x=-2.$$

   Проверка: при $$x=1$$ уравнение выполняется, а при $$x=-2$$ не подходит, так как $$\sqrt{x}$$ не определён.

2. б) Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{x+3}{x-3}+\sqrt{x}-\frac{2x-6}{x-4}-\sqrt{x}=0.$$

   Сократим одинаковые слагаемые:

   $$\frac{x+3}{x-3}-\frac{2x-6}{x-4}=0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{(x+3)(x-4)-2(x-3)^2}{(x-3)(x-4)}=0. $$

   Раскроем скобки:

   $$ (x+3)(x-4)-2(x-3)^2=0, $$

   $$ x^2-x-12-2(x^2-6x+9)=0, $$

   $$ -x^2+11x-30=0, $$

   $$ x^2-11x+30=0. $$

   Разложим на множители:

   $$ (x-5)(x-6)=0. $$

   Следовательно, $$x=5$$ или $$x=6.$$ Оба значения подходят при проверке.

3. в) Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{x+3}{x-3}+3\tg\frac{\pi x}{4}-\frac{x+4}{3x-8}-3\tg\frac{\pi x}{4}=0.$$

   Сократим одинаковые слагаемые:

   $$\frac{x+3}{x-3}-\frac{x+4}{3x-8}=0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{(x+3)(3x-8)-(x+4)(x-3)}{(x-3)(3x-8)}=0. $$

   Раскроем скобки:

   $$ 3x^2+x-24-(x^2+x-12)=0, $$

   $$ 2x^2-12=0, $$

   $$ x^2-6=0. $$

   Отсюда:

   $$x=\pm \sqrt{6}.$$

   Оба корня удовлетворяют области допустимых значений.

4. г) Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{x-3}{x-2}+\tg\frac{\pi x}{4}-\frac{x-3}{2x+3}-\tg\frac{\pi x}{4}=0.$$

   Сократим одинаковые слагаемые:

   $$\frac{x-3}{x-2}-\frac{x-3}{2x+3}=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$ (x-3)\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{2x+3}\right)=0. $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ (x-3)\cdot \frac{2x+3-(x-2)}{(x-2)(2x+3)}=0, $$

   $$ (x-3)\cdot \frac{x+5}{(x-2)(2x+3)}=0. $$

   Отсюда:

   $$x-3=0 \quad \text{или} \quad x+5=0.$$

   Получаем $$x=3$$ и $$x=-5.$$ Оба значения подходят при проверке.

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=5,\,6$$; в) $$x=\pm\sqrt{6}$$; г) $$x=3,\,-5$$.