Упр.8.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) log2(12/(-3-x)) = log2(1-x);
в) log1/3(x4-17×2+log2(x))= log1/3(19×2+log2(x));
г) log3( x2- корень (x2-4) + 1) = log3(x3 — корень (x2-4) — 6x+1).

Подробный ответ

а) Перенесём всё в одну часть:
$$\sqrt{x^2+3}+\log_2 x-2-\log_2 x=0$$
$$\sqrt{x^2+3}-2=0$$
$$\sqrt{x^2+3}=2$$
$$x^2+3=4$$
$$x^2=1$$
$$x=\pm 1$$
Проверка области определения: $$x>0$$, значит $$x=-1$$ не подходит. При $$x=1$$ равенство верно.
б) Протенцируем уравнение:
$$\frac{12}{-3-x}=1-x$$
$$12=(1-x)(-3-x)$$
$$12=-3-x+3x+x^2$$
$$x^2+2x-15=0$$
$$\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$
$$x=-5 \text{ или } x=3$$
Проверка ОДЗ: $$-3-x\neq 0$$ и $$1-x>0$$. Значение $$x=3$$ не подходит, так как $$1-3<0$$. Подходит только $$x=-5$$.
в) Протенцируем уравнение:
$$x^4-17x^2+\log_2 x=19x^2+\log_2 x$$
$$x^4-36x^2=0$$
$$x^2(x^2-36)=0$$
$$x=0,\; x=-6,\; x=6$$
Так как $$\log_2 x$$ определён только при $$x>0$$, остаётся лишь $$x=6$$. Проверка показывает, что это значение подходит.
г) Протенцируем уравнение:
$$x^2-\sqrt{x^2-4}+1=x^2-\sqrt{x^2-4}-6x-1$$
$$6x=0$$
$$x=0$$
Но область определения задаётся условием $$x^2-4\ge 0$$, то есть $$|x|\ge 2$$. Значение $$x=0$$ не подходит, поэтому корней нет.