Упр.8.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$\sqrt{x^2+3}+\log_2(x)=2+\log_2(x)$$;
• б) $$\log_2\left(\frac{12}{-3-x}\right)=\log_2(1-x)$$;
• в) $$\log_{\frac{1}{3}}\left(x^4-17x^2+\log_2(x)\right)=\log_{\frac{1}{3}}\left(19x^2+\log_2(x)\right)$$;
• г) $$\log_3\left(x^2-\sqrt{x^2-4}+1\right)=\log_3\left(x^3-\sqrt{x^2-4}-6x+1\right)$$.

1. а) Перенесём всё в одну часть:

   $$\sqrt{x^2+3}+\log_2 x-2-\log_2 x=0$$

   $$\sqrt{x^2+3}-2=0$$

   $$\sqrt{x^2+3}=2$$

   $$x^2+3=4$$

   $$x^2=1$$

   $$x=\pm 1$$

   Проверка области определения: $$x>0$$, значит $$x=-1$$ не подходит. При $$x=1$$ равенство верно.

2. б) Протенцируем уравнение:

   $$\frac{12}{-3-x}=1-x$$

   $$12=(1-x)(-3-x)$$

   $$12=-3-x+3x+x^2$$

   $$x^2+2x-15=0$$

   $$\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$

   $$x=-5 \text{ или } x=3$$

   Проверка ОДЗ: $$-3-x\neq 0$$ и $$1-x>0$$. Значение $$x=3$$ не подходит, так как $$1-3<0$$. Подходит только $$x=-5$$.

3. в) Протенцируем уравнение:

   $$x^4-17x^2+\log_2 x=19x^2+\log_2 x$$

   $$x^4-36x^2=0$$

   $$x^2(x^2-36)=0$$

   $$x=0,\; x=-6,\; x=6$$

   Так как $$\log_2 x$$ определён только при $$x>0$$, остаётся лишь $$x=6$$. Проверка показывает, что это значение подходит.

4. г) Протенцируем уравнение:

   $$x^2-\sqrt{x^2-4}+1=x^2-\sqrt{x^2-4}-6x-1$$

   $$6x=0$$

   $$x=0$$

   Но область определения задаётся условием $$x^2-4\ge 0$$, то есть $$|x|\ge 2$$. Значение $$x=0$$ не подходит, поэтому корней нет.

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=-5$$; в) $$x=6$$; г) корней нет.