Упр.8.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$\sqrt{x+2}+\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x+3}$$;
б) $$\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=\sqrt{2x+19}$$;
в) $$\sqrt{6x+1}-\sqrt{x-3}=\sqrt{3x+4}$$;
г) $$\sqrt{9-5x}-\sqrt{x-1}=2\sqrt{2-x}$$.
а) Обозначим и возведём уравнение в квадрат:
$$\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x-3}\right)^2=\left(\sqrt{3x+3}\right)^2$$
$$x+2+2\sqrt{(x+2)(2x-3)}+2x-3=3x+3$$
$$2\sqrt{(x+2)(2x-3)}=4$$
$$\sqrt{(x+2)(2x-3)}=2$$
$$\left((x+2)(2x-3)\right)^2=2^2$$
$$(x+2)(2x-3)=4$$
$$2x^2+x-10=0$$
$$x_1=2,\quad x_2=-\frac52$$
Проверка: при $$x=2$$ получаем $$\sqrt4+\sqrt1=\sqrt9$$, то есть $$2+1=3$$. Значение $$x=-\frac52$$ не подходит, так как подкоренное выражение $$2x-3<0$$.
Итак, $$x=2$$.
б) Возведём уравнение в квадрат:
$$\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}\right)^2=\left(\sqrt{2x+19}\right)^2$$
$$x+1+2\sqrt{(x+1)(x+6)}+x+6=2x+19$$
$$2\sqrt{(x+1)(x+6)}=12$$
$$\sqrt{(x+1)(x+6)}=6$$
$$\left((x+1)(x+6)\right)^2=6^2$$
$$(x+1)(x+6)=36$$
$$x^2+7x-30=0$$
$$x_1=-10,\quad x_2=3$$
Проверка: $$x=-10$$ не подходит, так как подкоренное выражение $$x+1<0$$. При $$x=3$$ получаем верное равенство.
Итак, $$x=3$$.
в) Возведём уравнение в квадрат:
$$\left(\sqrt{6x+1}\right)^2=\left(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-3}\right)^2$$
$$6x+1=3x+4+2\sqrt{(3x+4)(x-3)}+x-3$$
$$2\sqrt{(3x+4)(x-3)}=2x$$
$$\sqrt{(3x+4)(x-3)}=x$$
$$\left((3x+4)(x-3)\right)^2=x^2$$
$$(3x+4)(x-3)=x^2$$
$$2x^2-5x-12=0$$
$$x_1=4,\quad x_2=-\frac32$$
Проверка: $$x=4$$ подходит, а $$x=-\frac32$$ не подходит, так как $$x-3<0$$.
Итак, $$x=4$$.
г) Возведём уравнение в квадрат:
$$\left(\sqrt{9-5x}\right)^2=\left(2\sqrt{2-x}+\sqrt{x-1}\right)^2$$
$$9-5x=4(2-x)+4\sqrt{(2-x)(x-1)}+x-1$$
$$9-5x=8-4x+4\sqrt{(2-x)(x-1)}+x-1$$
$$2-2x=4\sqrt{(2-x)(x-1)}$$
$$1-x=2\sqrt{(2-x)(x-1)}$$
$$(1-x)^2=4(2-x)(x-1)$$
$$(x-1)^2-4(2-x)(x-1)=0$$
$$(x-1)(x-1-8+4x)=0$$
$$(x-1)(5x-9)=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=\frac95$$
Проверка: $$x=1$$ подходит. При $$x=\frac95$$ левая и правая части не равны, поэтому этот корень посторонний.
Итак, $$x=1$$.
Ответ
а) $$x=2$$; б) $$x=3$$; в) $$x=4$$; г) $$x=1$$.
