Упр.8.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 8.32. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4$$;
   б) $$\sqrt{2x+6}=2+\sqrt{x+1}$$;
   в) $$\sqrt{4x+8}-\sqrt{3x-2}=2$$;
   г) $$\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+5}=5$$.

1. а) $$\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4$$

   Возведём уравнение в квадрат:

   $$\left(\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}\right)^2=16$$

   $$2x-3+2\sqrt{(2x-3)(4x+1)}+4x+1=16$$

   $$2\sqrt{(2x-3)(4x+1)}=18-6x$$

   $$\sqrt{(2x-3)(4x+1)}=9-3x$$

   Возведём ещё раз в квадрат:

   $$(2x-3)(4x+1)=(9-3x)^2$$

   $$8x^2-10x-3=81-54x+9x^2$$

   $$x^2-44x+84=0$$

   $$x=2,\;42$$

   Проверка показывает, что подходит только $$x=2$$.

2. б) $$\sqrt{2x+6}=2+\sqrt{x+1}$$

   Возведём уравнение в квадрат:

   $$2x+6=4+4\sqrt{x+1}+x+1$$

   $$x+1=4\sqrt{x+1}$$

   $$x+1-4\sqrt{x+1}=0$$

   Положим $$t=\sqrt{x+1}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2-4t=0$$.

   $$t(t-4)=0$$

   $$t=0 \text{ или } t=4$$

   Тогда

   $$\sqrt{x+1}=0 \Rightarrow x=-1$$

   $$\sqrt{x+1}=4 \Rightarrow x=15$$

3. в) $$\sqrt{4x+8}-\sqrt{3x-2}=2$$

   Перенесём один корень:

   $$\sqrt{4x+8}=2+\sqrt{3x-2}$$

   Возведём в квадрат:

   $$4x+8=4+4\sqrt{3x-2}+3x-2$$

   $$x+6=4\sqrt{3x-2}$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$x^2+12x+36=16(3x-2)$$

   $$x^2-36x+68=0$$

   $$x=2,\;34$$

   Оба значения подходят.

4. г) $$\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+5}=5$$

   Возведём уравнение в квадрат:

   $$\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+5}\right)^2=25$$

   $$3x-2+2\sqrt{(3x-2)(2x+5)}+2x+5=25$$

   $$2\sqrt{(3x-2)(2x+5)}=22-5x$$

   $$\sqrt{(3x-2)(2x+5)}=\frac{22-5x}{2}$$

   Возведём в квадрат:

   $$4(3x-2)(2x+5)=(22-5x)^2$$

   $$24x^2+44x-40=484-220x+25x^2$$

   $$x^2-264x+524=0$$

   $$x=2,\;262$$

   Проверка показывает, что подходит только $$x=2$$.

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=-1,\;15$$; в) $$x=2,\;34$$; г) $$x=2$$.