Упр.8.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

8.32 а) корень (2х — 3) + корень (4х + 1) = 4;
б) корень (2х + 6) = 2 + корень (х + 1);
в) корень (4х + 8) — корень (3х — 2) = 2;
г) корень (3х — 2) + корень (2х +5) = 5.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4$$
Возведём уравнение в квадрат:
$$\left(\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}\right)^2=16$$
$$2x-3+2\sqrt{(2x-3)(4x+1)}+4x+1=16$$
$$2\sqrt{(2x-3)(4x+1)}=18-6x$$
$$\sqrt{(2x-3)(4x+1)}=9-3x$$
Возведём ещё раз в квадрат:
$$ (2x-3)(4x+1)=(9-3x)^2 $$
$$8x^2-10x-3=81-54x+9x^2$$
$$x^2-44x+84=0$$
$$x=2,\;42$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=2$$.
б) $$\sqrt{2x+6}=2+\sqrt{x+1}$$
Возведём уравнение в квадрат:
$$2x+6=4+4\sqrt{x+1}+x+1$$
$$x+1=4\sqrt{x+1}$$
$$x+1-4\sqrt{x+1}=0$$
Положим $$t=\sqrt{x+1}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2-4t=0$$.
$$t(t-4)=0$$
$$t=0 \text{ или } t=4$$
Тогда
$$\sqrt{x+1}=0 \Rightarrow x=-1$$
$$\sqrt{x+1}=4 \Rightarrow x=15$$
в) $$\sqrt{4x+8}-\sqrt{3x-2}=2$$
Перенесём один корень:
$$\sqrt{4x+8}=2+\sqrt{3x-2}$$
Возведём в квадрат:
$$4x+8=4+4\sqrt{3x-2}+3x-2$$
$$x+6=4\sqrt{3x-2}$$
Снова возведём в квадрат:
$$x^2+12x+36=16(3x-2)$$
$$x^2-36x+68=0$$
$$x=2,\;34$$
Оба значения подходят.
г) $$\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+5}=5$$
Возведём уравнение в квадрат:
$$\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+5}\right)^2=25$$
$$3x-2+2\sqrt{(3x-2)(2x+5)}+2x+5=25$$
$$2\sqrt{(3x-2)(2x+5)}=22-5x$$
$$\sqrt{(3x-2)(2x+5)}=\frac{22-5x}{2}$$
Возведём в квадрат:
$$4(3x-2)(2x+5)=(22-5x)^2$$
$$24x^2+44x-40=484-220x+25x^2$$
$$x^2-264x+524=0$$
$$x=2,\;262$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=2$$.