Упр.8.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) х — а + корень (х — а) = 2х + 1 + корень (х — а);
б) (a-2)/(ax-3)=1;
в) 1/(logx(5))2 — 2а * log5(х) + 1 = 0
имеет единственный корень?
а) Перенесём всё в одну часть:
$$x-a+\sqrt{x-a}-2x-1-\sqrt{x-a}=0$$
$$-x-a-1=0$$
$$x=-a-1.$$
Чтобы это значение было корнем исходного уравнения, нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$x-a\ge 0.$$
Подставим $$x=-a-1$$:
$$-a-1-a\ge 0$$
$$-2a-1\ge 0$$
$$a\le -\frac12.$$
б) Преобразуем уравнение:
$$\frac{a-2}{ax-3}=1$$
$$\frac{a-2}{ax-3}-1=0$$
$$\frac{a-2-ax+3}{ax-3}=0$$
$$\frac{a+1-ax}{ax-3}=0.$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$a+1-ax=0,$$
$$x=\frac{a+1}{a}.$$
Значит, нужно $$a\ne 0$$. Проверим знаменатель:
$$a\cdot \frac{a+1}{a}-3=a+1-3=a-2.$$
Чтобы корень был единственным, требуется $$a-2\ne 0$$, то есть $$a\ne 2$$.
в) Обозначим:
$$t=\log_5 x.$$
Тогда уравнение принимает вид:
$$t^2-2at+1=0.$$
Чтобы уравнение имело единственный корень по $$t$$, дискриминант должен быть равен нулю:
$$D=(-2a)^2-4=4a^2-4=0.$$
$$a^2=1,$$
$$a=\pm 1.$$
При этих значениях получается единственное значение $$t$$, а значит, и единственный корень по $$x$$.
Ответ
а) $$a\le -\frac12$$; б) $$a\ne 0,\ a\ne 2$$; в) $$a=-1$$ или $$a=1$$.
