Упр.8.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 8.30*

Используем формулу

$$\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}=\cos 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\cos 2x=\cos x-\sin^2 x.$$

Заменим $$\cos 2x$$ по формуле $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos x-\sin^2 x.$$

Сократим $$-\sin^2 x$$ в обеих частях:

$$\cos^2 x=\cos x.$$

$$\cos x(\cos x-1)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

Получаем кандидаты:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

$$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Проверим область определения исходного выражения: при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ не существует $$\tg x$$, значит эти значения не подходят.

При $$x=2\pi n$$ имеем $$\tg x=0$$, и исходное уравнение выполняется.

Ответ

$$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$