Упр.8.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) 1/(logx(3))2 — log3(x)=0;
в) 2/(logx(4))2 — log4(x)=0;
г) 1/(2logx(6))2 — log6(x)=0.

Подробный ответ

Используем формулу

$$\frac{1}{(\log_a b)^2}=(\log_b a)^2.$$

а)
$$\frac{2}{(\log_x 5)^2}-\log_5 x=0.$$
Тогда
$$2(\log_5 x)^2-\log_5 x=0.$$
Вынесем общий множитель:
$$\log_5 x\,(2\log_5 x-1)=0.$$
Отсюда
$$\log_5 x=0 \quad \text{или} \quad 2\log_5 x-1=0.$$
Получаем
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=\sqrt{5}.$$
Проверка: при $$x=1$$ выражение не определено, а при $$x=\sqrt{5}$$ уравнение выполняется.
б)
$$\frac{1}{(\log_x 3)^2}+\log_3 x=0.$$
Преобразуем:
$$ (\log_3 x)^2+\log_3 x=0,$$
$$\log_3 x\,(\log_3 x+1)=0.$$
Тогда
$$\log_3 x=0 \quad \text{или} \quad \log_3 x=-1.$$
Следовательно,
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=\frac13.$$
Проверка: $$x=1$$ не подходит, так как $$\log_1 3$$ не существует. При $$x=\frac13$$ уравнение верно.
в)
$$\frac{2}{(\log_x 4)^2}+\log_4 x=0.$$
Тогда
$$2(\log_4 x)^2+\log_4 x=0,$$
$$\log_4 x\,(2\log_4 x+1)=0.$$
Отсюда
$$\log_4 x=0 \quad \text{или} \quad 2\log_4 x+1=0.$$
Получаем
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=2.$$
Проверка: $$x=1$$ не подходит, а при $$x=2$$ уравнение выполняется.
г)
$$\frac{1}{(2\log_x 6)^2}-\log_6 x=0.$$
Так как
$$\frac{1}{(\log_x 6)^2}=(\log_6 x)^2,$$
получаем
$$\frac{(\log_6 x)^2}{4}-\log_6 x=0.$$
Вынесем общий множитель:
$$\log_6 x\left(\frac{\log_6 x}{4}-1\right)=0.$$
Тогда
$$\log_6 x=0 \quad \text{или} \quad \frac{\log_6 x}{4}-1=0.$$
Следовательно,
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=6^4=1296.$$
Проверка: $$x=1$$ не подходит, а при $$x=1296$$ уравнение верно.