Упр.8.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 8-29. а) $$\frac{2}{(\log_x 5)^2}-\log_5 x=0$$; б) $$\frac{1}{(\log_x 3)^2}-\log_3 x=0$$; в) $$\frac{2}{(\log_x 4)^2}-\log_4 x=0$$; г) $$\frac{1}{(2\log_x 6)^2}-\log_6 x=0$$.

Используем формулу

$$\frac{1}{(\log_a b)^2}=(\log_b a)^2.$$

1. а)

   $$\frac{2}{(\log_x 5)^2}-\log_5 x=0.$$

   Тогда

   $$2(\log_5 x)^2-\log_5 x=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\log_5 x\,(2\log_5 x-1)=0.$$

   Отсюда

   $$\log_5 x=0 \quad \text{или} \quad 2\log_5 x-1=0.$$

   Получаем

   $$x=1 \quad \text{или} \quad x=\sqrt{5}.$$

   Проверка: при $$x=1$$ выражение не определено, а при $$x=\sqrt{5}$$ уравнение выполняется.

2. б)

   $$\frac{1}{(\log_x 3)^2}+\log_3 x=0.$$

   Преобразуем:

   $$(\log_3 x)^2+\log_3 x=0,$$

   $$\log_3 x\,(\log_3 x+1)=0.$$

   Тогда

   $$\log_3 x=0 \quad \text{или} \quad \log_3 x=-1.$$

   Следовательно,

   $$x=1 \quad \text{или} \quad x=\frac13.$$

   Проверка: $$x=1$$ не подходит, так как $$\log_1 3$$ не существует. При $$x=\frac13$$ уравнение верно.

3. в)

   $$\frac{2}{(\log_x 4)^2}+\log_4 x=0.$$

   Тогда

   $$2(\log_4 x)^2+\log_4 x=0,$$

   $$\log_4 x\,(2\log_4 x+1)=0.$$

   Отсюда

   $$\log_4 x=0 \quad \text{или} \quad 2\log_4 x+1=0.$$

   Получаем

   $$x=1 \quad \text{или} \quad x=2.$$

   Проверка: $$x=1$$ не подходит, а при $$x=2$$ уравнение выполняется.

4. г)

   $$\frac{1}{(2\log_x 6)^2}-\log_6 x=0.$$

   Так как

   $$\frac{1}{(\log_x 6)^2}=(\log_6 x)^2,$$

   получаем

   $$\frac{(\log_6 x)^2}{4}-\log_6 x=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\log_6 x\left(\frac{\log_6 x}{4}-1\right)=0.$$

   Тогда

   $$\log_6 x=0 \quad \text{или} \quad \frac{\log_6 x}{4}-1=0.$$

   Следовательно,

   $$x=1 \quad \text{или} \quad x=6^4=1296.$$

   Проверка: $$x=1$$ не подходит, а при $$x=1296$$ уравнение верно.

Ответ

а) $$x=\sqrt{5}$$; б) $$x=\frac13$$; в) $$x=2$$; г) $$x=1296$$.