Упр.8.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$\operatorname{tg}3x=\operatorname{tg}5x$$; б) $$\operatorname{ctg}3x=\operatorname{ctg}5x$$; в) $$\sin x=\frac{\cos x}{\sin x}$$; г) $$\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}$$.

1. $$\tg 3x=\tg 5x$$

   Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся формулой $$\tg t=\dfrac{\sin t}{\cos t}$$:

   $$\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{\sin 5x}{\cos 5x}=0$$

   $$\frac{\sin 3x\cos 5x-\sin 5x\cos 3x}{\cos 3x\cos 5x}=0$$

   $$\frac{\sin(3x-5x)}{\cos 3x\cos 5x}=0$$

   $$\frac{-\sin 2x}{\cos 3x\cos 5x}=0$$

   Отсюда $$\sin 2x=0$$, значит

   $$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

   Проверка показывает, что при нечётных $$n$$ знаменатель обращается в нуль, поэтому подходят только чётные $$n=2m$$:

   $$x=\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

2. $$\ctg 3x=\ctg 5x$$

   Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся формулой $$\ctg t=\dfrac{\cos t}{\sin t}$$:

   $$\frac{\cos 3x}{\sin 3x}-\frac{\cos 5x}{\sin 5x}=0$$

   $$\frac{\cos 3x\sin 5x-\sin 3x\cos 5x}{\sin 3x\sin 5x}=0$$

   $$\frac{\sin(5x-3x)}{\sin 3x\sin 5x}=0$$

   $$\frac{\sin 2x}{\sin 3x\sin 5x}=0$$

   Следовательно, $$\sin 2x=0$$, то есть

   $$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

   При нечётных $$n$$ знаменатель равен нулю, поэтому остаются только чётные $$n=2m$$:

   $$x=\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin x=\frac{\cos x}{\sin x}$$

   Так как $$\sin x\neq 0$$, умножим на $$\sin x$$:

   $$\sin^2 x=\cos x$$

   Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$1-\cos^2 x=\cos x$$

   $$\cos^2 x+\cos x-1=0$$

   Пусть $$t=\cos x$$. Тогда

   $$t^2+t-1=0$$

   $$t=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$

   Значение $$\dfrac{-1-\sqrt5}{2}<-1$$ не подходит, поэтому

   $$\cos x=\frac{\sqrt5-1}{2}$$

   Тогда

   $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

   Так как $$\cos x\neq 0$$, умножим на $$\cos x$$:

   $$\cos^2 x=\sin x$$

   Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

   $$1-\sin^2 x=\sin x$$

   $$\sin^2 x+\sin x-1=0$$

   Пусть $$t=\sin x$$. Тогда

   $$t^2+t-1=0$$

   $$t=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$

   Значение $$\dfrac{-1-\sqrt5}{2}<-1$$ не подходит, поэтому

   $$\sin x=\frac{\sqrt5-1}{2}$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi m,\ m\in\mathbb Z$$;

б) $$x=\pi m,\ m\in\mathbb Z$$;

в) $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;

г) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.