Упр.8.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) ctg3x= ctg5x;
в) sinx= cosx/sinx;
г) cosx=sinx/cosx.

Подробный ответ

$$\tg 3x=\tg 5x$$
Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся формулой $$\tg t=\dfrac{\sin t}{\cos t}$$:
$$ \frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{\sin 5x}{\cos 5x}=0 $$
$$ \frac{\sin 3x\cos 5x-\sin 5x\cos 3x}{\cos 3x\cos 5x}=0 $$
$$ \frac{\sin(3x-5x)}{\cos 3x\cos 5x}=0 $$
$$ \frac{-\sin 2x}{\cos 3x\cos 5x}=0 $$
Отсюда $$\sin 2x=0$$, значит
$$ 2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$
Проверка показывает, что при нечётных $$n$$ знаменатель обращается в нуль, поэтому подходят только чётные $$n=2m$$:
$$ x=\pi m,\quad m\in\mathbb Z. $$
$$\ctg 3x=\ctg 5x$$
Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся формулой $$\ctg t=\dfrac{\cos t}{\sin t}$$:
$$ \frac{\cos 3x}{\sin 3x}-\frac{\cos 5x}{\sin 5x}=0 $$
$$ \frac{\cos 3x\sin 5x-\sin 3x\cos 5x}{\sin 3x\sin 5x}=0 $$
$$ \frac{\sin(5x-3x)}{\sin 3x\sin 5x}=0 $$
$$ \frac{\sin 2x}{\sin 3x\sin 5x}=0 $$
Следовательно, $$\sin 2x=0$$, то есть
$$ x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$
При нечётных $$n$$ знаменатель равен нулю, поэтому остаются только чётные $$n=2m$$:
$$ x=\pi m,\quad m\in\mathbb Z. $$
$$\sin x=\frac{\cos x}{\sin x}$$
Так как $$\sin x\neq 0$$, умножим на $$\sin x$$:
$$ \sin^2 x=\cos x $$
Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$ 1-\cos^2 x=\cos x $$
$$ \cos^2 x+\cos x-1=0 $$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$ t^2+t-1=0 $$
$$ t=\frac{-1\pm\sqrt5}{2} $$
Значение $$\dfrac{-1-\sqrt5}{2}<-1$$ не подходит, поэтому
$$ \cos x=\frac{\sqrt5-1}{2} $$
Тогда
$$ x=\pm \arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
$$\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}$$
Так как $$\cos x\neq 0$$, умножим на $$\cos x$$:
$$ \cos^2 x=\sin x $$
Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$ 1-\sin^2 x=\sin x $$
$$ \sin^2 x+\sin x-1=0 $$
Пусть $$t=\sin x$$. Тогда
$$ t^2+t-1=0 $$
$$ t=\frac{-1\pm\sqrt5}{2} $$
Значение $$\dfrac{-1-\sqrt5}{2}<-1$$ не подходит, поэтому
$$ \sin x=\frac{\sqrt5-1}{2} $$
Тогда
$$ x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt5-1}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$