Упр.8.26 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{\sin x}{\cos x}$$; б) $$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=-\frac{\sin x}{\cos x}$$; в) $$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin 4x}{\cos 4x}$$; г) $$\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{\sin 4x}{\cos 4x}$$.

а) Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\frac{\sin x}{\cos x}=0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sin 2x\cos x-\sin x\cos 2x}{\cos 2x\cos x}=0.$$

Числитель преобразуем по формуле синуса разности:

$$\sin 2x\cos x-\sin x\cos 2x=\sin(2x-x)=\sin x.$$

Тогда

$$\frac{\sin x}{\cos 2x\cos x}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Проверка: при $$x=\pi n$$ знаменатель не обращается в нуль, так как

$$\cos x=\cos(\pi n)=(-1)^n\neq 0,\qquad \cos 2x=\cos(2\pi n)=1\neq 0.$$

б)

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}+\frac{\sin x}{\cos x}=0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sin 2x\cos x+\sin x\cos 2x}{\cos 2x\cos x}=0.$$

Числитель:

$$\sin 2x\cos x+\sin x\cos 2x=\sin(2x+x)=\sin 3x.$$

Получаем:

$$\frac{\sin 3x}{\cos 2x\cos x}=0,$$

откуда

$$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что при этих значениях знаменатель не равен нулю.

в)

$$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin 4x}{\cos 4x}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin 4x}{\cos 4x}=0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sin x\cos 4x-\sin 4x\cos x}{\cos x\cos 4x}=0.$$

По формуле синуса разности:

$$\sin x\cos 4x-\sin 4x\cos x=\sin(x-4x)=\sin(-3x)=-\sin 3x.$$

Тогда

$$\frac{-\sin 3x}{\cos x\cos 4x}=0,$$

значит

$$\sin 3x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

Проверка: при этих значениях равенство выполняется.

г)

$$\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{\sin 4x}{\cos 4x}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin 4x}{\cos 4x}=0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sin x\cos 4x+\sin 4x\cos x}{\cos x\cos 4x}=0.$$

Числитель:

$$\sin x\cos 4x+\sin 4x\cos x=\sin(x+4x)=\sin 5x.$$

Следовательно,

$$\frac{\sin 5x}{\cos x\cos 4x}=0,$$

откуда

$$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что при этих значениях знаменатель не обращается в нуль.

Ответ

а) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$