Упр.8.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}+x^2-7x=\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}-6$$

б) $$\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}+x^2-2x=\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}+24$$

в) $$x^2+13+\log_2(x^3-9)=8x+\log_2(2x^3-18)$$

г) $$x^2+2x+\log_3(x^3+4)=23+\log_3(3x^3+12)$$

1. а) Перенесём всё в одну сторону:

   $$\tg \frac{\pi x}{2}+x^2-7x-\tg \frac{\pi x}{2}+6=0.$$

   Получаем:

   $$x^2-7x+6=0,$$

   $$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0.$$

   Отсюда $$x=1$$ или $$x=6$$.

   Проверим область определения: при $$x=1$$ имеем $$\tg \frac{\pi}{2}$$, что не существует. Значит, $$x=1$$ не подходит.

   При $$x=6$$:

   $$\tg 3\pi+36-42=\tg 3\pi-6,$$

   $$0-6=0-6.$$

   Решение подходит.

2. б) Перенесём всё в одну сторону:

   $$\ctg \frac{\pi x}{3}+x^2-2x-\ctg \frac{\pi x}{3}-24=0.$$

   Тогда

   $$x^2-2x-24=0,$$

   $$\left(x+4\right)\left(x-6\right)=0.$$

   Следовательно, $$x=-4$$ или $$x=6$$.

   Проверим:

   при $$x=6$$ имеем $$\ctg 2\pi$$, а это значение не существует;

   при $$x=-4$$:

   $$\ctg \left(-\frac{4\pi}{3}\right)+16+8=\ctg \left(-\frac{4\pi}{3}\right)+24,$$

   равенство верно.

3. в) Перенесём всё в одну сторону:

   $$x^2+13+\log_2\left(x^3-9\right)-8x-\log_2\left(2x^3-18\right)=0.$$

   Так как

   $$2x^3-18=2\left(x^3-9\right),$$

   то

   $$\log_2\left(2x^3-18\right)=\log_2 2+\log_2\left(x^3-9\right)=1+\log_2\left(x^3-9\right).$$

   Тогда уравнение сводится к

   $$x^2+13-8x-1=0,$$

   $$x^2-8x+12=0,$$

   $$\left(x-2\right)\left(x-6\right)=0.$$

   Получаем $$x=2$$ или $$x=6$$.

   Проверим область определения: $$x^3-9>0$$, то есть $$x>\sqrt[3]{9}$$. Оба корня подходят по ОДЗ, но при $$x=2$$:

   $$\log_2\left(2^3-9\right)=\log_2(-1),$$

   что невозможно. Значит, $$x=2$$ не подходит.

   При $$x=6$$ равенство выполняется.

4. г) Перенесём всё в одну сторону:

   $$x^2+2x+\log_3\left(x^3+4\right)-23-\log_3\left(3x^3+12\right)=0.$$

   Заметим, что

   $$3x^3+12=3\left(x^3+4\right),$$

   поэтому

   $$\log_3\left(3x^3+12\right)=\log_3 3+\log_3\left(x^3+4\right)=1+\log_3\left(x^3+4\right).$$

   Тогда

   $$x^2+2x+ \log_3\left(x^3+4\right)-23-1-\log_3\left(x^3+4\right)=0,$$

   $$x^2+2x-24=0,$$

   $$\left(x+6\right)\left(x-4\right)=0.$$

   Отсюда $$x=-6$$ или $$x=4$$.

   Проверим ОДЗ: $$x^3+4>0$$, то есть $$x>-\sqrt[3]{4}$$. Поэтому $$x=-6$$ не подходит.

   При $$x=4$$:

   $$16+8+\log_3 68=23+\log_3 204,$$

   $$24+\log_3 68=23+\log_3 3+\log_3 68,$$

   $$24+\log_3 68=24+\log_3 68.$$

Ответ

а) $$x=6$$; б) $$x=-4$$; в) $$x=6$$; г) $$x=4$$.