Упр.8.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) ctg пиx/3 + x2 — 2х = ctg пиx/3 + 24;
в) х2 + 13 + log2(x3 — 9) = 8x + log2(2×3 — 18);
г) х2 + 2х + log3(x3 + 4) = 23 + log3(3×3 + 12).

Подробный ответ

а) Перенесём всё в одну сторону:
$$\tg \frac{\pi x}{2}+x^2-7x-\tg \frac{\pi x}{2}+6=0.$$
Получаем:
$$x^2-7x+6=0,$$
$$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0.$$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=6$$.
Проверим область определения: при $$x=1$$ имеем $$\tg \frac{\pi}{2}$$, что не существует. Значит, $$x=1$$ не подходит.
При $$x=6$$:
$$\tg 3\pi+36-42=\tg 3\pi-6,$$
$$0-6=0-6.$$
Решение подходит.
б) Перенесём всё в одну сторону:
$$\ctg \frac{\pi x}{3}+x^2-2x-\ctg \frac{\pi x}{3}-24=0.$$
Тогда
$$x^2-2x-24=0,$$
$$\left(x+4\right)\left(x-6\right)=0.$$
Следовательно, $$x=-4$$ или $$x=6$$.
Проверим:
при $$x=6$$ имеем $$\ctg 2\pi$$, а это значение не существует;
при $$x=-4$$:
$$\ctg \left(-\frac{4\pi}{3}\right)+16+8=\ctg \left(-\frac{4\pi}{3}\right)+24,$$
равенство верно.
в) Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2+13+\log_2\left(x^3-9\right)-8x-\log_2\left(2x^3-18\right)=0.$$
Так как
$$2x^3-18=2\left(x^3-9\right),$$
то
$$\log_2\left(2x^3-18\right)=\log_2 2+\log_2\left(x^3-9\right)=1+\log_2\left(x^3-9\right).$$
Тогда уравнение сводится к
$$x^2+13-8x-1=0,$$
$$x^2-8x+12=0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x-6\right)=0.$$
Получаем $$x=2$$ или $$x=6$$.
Проверим область определения: $$x^3-9>0$$, то есть $$x>\sqrt[3]{9}$$. Оба корня подходят по ОДЗ, но при $$x=2$$:
$$\log_2\left(2^3-9\right)=\log_2(-1),$$
что невозможно. Значит, $$x=2$$ не подходит.
При $$x=6$$ равенство выполняется.
г) Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2+2x+\log_3\left(x^3+4\right)-23-\log_3\left(3x^3+12\right)=0.$$
Заметим, что
$$3x^3+12=3\left(x^3+4\right),$$
поэтому
$$\log_3\left(3x^3+12\right)=\log_3 3+\log_3\left(x^3+4\right)=1+\log_3\left(x^3+4\right).$$
Тогда
$$x^2+2x+ \log_3\left(x^3+4\right)-23-1-\log_3\left(x^3+4\right)=0,$$
$$x^2+2x-24=0,$$
$$\left(x+6\right)\left(x-4\right)=0.$$
Отсюда $$x=-6$$ или $$x=4$$.
Проверим ОДЗ: $$x^3+4>0$$, то есть $$x>-\sqrt[3]{4}$$. Поэтому $$x=-6$$ не подходит.
При $$x=4$$:
$$16+8+\log_3 68=23+\log_3 204,$$
$$24+\log_3 68=23+\log_3 3+\log_3 68,$$
$$24+\log_3 68=24+\log_3 68.$$