Упр.8.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$\lg(x^2+3x+a)=\lg(x+1)^2$$ не имеет корней?

Рассмотрим уравнение

$$\lg(x^2+3x+a)=\lg(x+1)^2.$$

Чтобы логарифмы были равны, должны быть равны их аргументы при условии, что оба аргумента положительны:

$$x^2+3x+a=(x+1)^2.$$

Решим полученное уравнение:

$$x^2+3x+a=x^2+2x+1,$$

$$x=1-a.$$

Проверим, когда найденное значение не подходит из-за области определения. Подставим $$x=1-a$$ в аргумент логарифма:

$$x+1=2-a,$$

$$(x+1)^2=(2-a)^2.$$

Если $$a=2$$, то $$x=1-a=-1$$, и тогда аргумент $$\lg(x+1)^2$$ равен нулю, что невозможно. Значит, при $$a=2$$ корней нет.

Если $$a\ne 2$$, то $$x=1-a$$ удовлетворяет уравнению и оба аргумента логарифмов положительны, значит, корень существует.

Ответ

$$a=2.$$