Упр.8.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 8.20* При каких значениях параметра а уравнение lg(x2 + 3х + а) = = lg(x + 1)2 не имеет корней?

Рассмотрим уравнение

$$\lg(x^2+3x+a)=\lg(x+1)^2.$$

Чтобы логарифмы были равны, должны быть равны их аргументы при условии, что оба аргумента положительны:

$$x^2+3x+a=(x+1)^2.$$

Решим полученное уравнение:

$$x^2+3x+a=x^2+2x+1,$$

$$x=1-a.$$

Проверим, когда найденное значение не подходит из-за области определения. Подставим $x=1-a$ в аргумент логарифма:

$$x+1=2-a,$$

$$ (x+1)^2=(2-a)^2.$$

Если $a=2$, то $x=1-a=-1$, и тогда аргумент $\lg(x+1)^2$ равен нулю, что невозможно. Значит, при $a=2$ корней нет.

Если $a\ne 2$, то $x=1-a$ удовлетворяет уравнению и оба аргумента логарифмов положительны, значит, корень существует.

Ответ

$$a=2.$$