Упр.8.2 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 8.2. Объясните, в результате какого преобразования переход от первого уравнения ко второму приводит к появлению посторонних корней. Подберите корень второго уравнения, посторонний для первого уравнения:

   а) $$x=2$$, $$x^2=4$$;

   б) $$\log_3(x^2)=\log_3(x)$$, $$x^2=x$$;

   в) $$\frac{(x-4)-(2x-3)}{x^2-1}=0$$, $$(x-4)-(2x-3)=0$$;

   г) $$x^2+3x+\sqrt{x}=\sqrt{x}+4$$, $$x^2+3x-4=0$$.

1. а) Второе уравнение получено возведением первого уравнения в квадрат. При этом могут появиться посторонние корни.

   Проверим число $$x=-2$$:

   $$x=2 \Rightarrow x^2=4,$$

   а при $$x=-2$$ второе уравнение выполняется:

   $$(-2)^2=4,$$

   но первое уравнение не выполняется. Значит, $$x=-2$$ — посторонний корень.

2. б) Второе уравнение получено потенцированием первого логарифмического уравнения. При этом нужно учитывать область определения: $$x>0$$.

   Корень $$x=0$$ удовлетворяет второму уравнению:

   $$x^2=x \Rightarrow 0^2=0,$$

   но не подходит для первого, так как $$\log_3 0$$ не определён. Значит, $$x=0$$ — посторонний корень.

3. в) Второе уравнение получено освобождением от знаменателя. При этом необходимо исключить значения, при которых знаменатель равен нулю.

   Знаменатель первого уравнения:

   $$x^2-1=(x-1)(x+1),$$

   поэтому $$x\neq 1$$ и $$x\neq -1$$.

   Корень $$x=1$$ удовлетворяет второму уравнению:

   $$x-4-(2x-3)=0,$$

   но не подходит для первого, так как обращает знаменатель в нуль. Значит, $$x=1$$ — посторонний корень.

4. г) Второе уравнение получено переносом слагаемых в левую часть и приведением подобных. Такое преобразование равносильно исходному, но при записи решения нужно учитывать область определения: $$x\ge 0$$.

   Корень $$x=-4$$ удовлетворяет второму уравнению:

   $$x^2+3x-4=0,$$

   но не подходит для первого, так как $$\sqrt{x}$$ при $$x=-4$$ не определён. Значит, $$x=-4$$ — посторонний корень.

Ответ

а) $$-2$$; б) $$0$$; в) $$1$$; г) $$-4$$.