Упр.8.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) log1/2cos 2x = log1/2(cos x + sin x);
в) log1/3cos2x = log1/3(cosx — sinx);
г) log0,2 cos2x = log0,2 (sinx — cos x).
а) $$\log_2(\cos 2x)=\log_2(\cos x)$$
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то при условии существования выражений получаем
$$\cos 2x=\cos x.$$
Подставим формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
$$ 2\cos^2 x-1=\cos x $$
$$ 2\cos^2 x-\cos x-1=0 $$
$$ (2\cos x+1)(\cos x-1)=0 $$
Отсюда
$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$
Проверим область определения: для логарифмов нужно $$\cos 2x>0$$ и $$\cos x>0.$$
При $$\cos x=-\frac12$$ имеем $$\cos 2x=2\cdot\frac14-1=-\frac12<0,$$ значит, это не подходит.
Остаётся
$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$\log_{1/2}(\cos 2x)=\log_{1/2}(\cos x+\sin x)$$
Тогда
$$\cos 2x=\cos x+\sin x.$$
Используем $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$ \cos^2 x-\sin^2 x=\cos x+\sin x $$
$$ (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos x+\sin x $$
$$ (\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x-1)=0 $$
Отсюда
$$\cos x+\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x-\sin x=1.$$
1) $$\cos x+\sin x=0 \Rightarrow \tan x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Но при этом $$\cos x+\sin x=0,$$ а аргумент логарифма должен быть положительным, значит, это не подходит.
2) $$\cos x-\sin x=1.$$
$$ \sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 $$
$$ \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2} $$
$$ x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k $$
Отсюда
$$x=2\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Проверка ОДЗ: при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ имеем $$\cos x+\sin x=-1<0,$$ значит, это не подходит.
Остаётся
$$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
в) $$\log_{1/3}(\cos 2x)=\log_{1/3}(\cos x-\sin x)$$
Получаем
$$\cos 2x=\cos x-\sin x.$$
Подставим $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$ \cos^2 x-\sin^2 x=\cos x-\sin x $$
$$ (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos x-\sin x $$
$$ (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x-1)=0 $$
Отсюда
$$\cos x-\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+\sin x=1.$$
1) $$\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tan x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Но тогда $$\cos x-\sin x=0,$$ и аргумент логарифма равен нулю, что невозможно.
2) $$\cos x+\sin x=1.$$
$$ \sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1 $$
$$ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2} $$
$$ x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k $$
Отсюда
$$x=2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Проверка ОДЗ показывает, что оба значения подходят.
г) $$\log_{0.2}(\cos 2x)=\log_{0.2}(\sin x-\cos x)$$
Тогда
$$\cos 2x=\sin x-\cos x.$$
Используем $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$ \cos^2 x-\sin^2 x=\sin x-\cos x $$
$$ (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=-(\cos x-\sin x) $$
$$ (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x+1)=0 $$
Отсюда
$$\cos x-\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+\sin x=-1.$$
1) $$\cos x-\sin x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Но тогда $$\sin x-\cos x=0,$$ и аргумент логарифма равен нулю, что невозможно.
2) $$\cos x+\sin x=-1.$$
$$ \sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1 $$
$$ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2} $$
$$ x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k $$
Отсюда
$$x=\pi+2\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Проверка ОДЗ: при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ имеем $$\sin x-\cos x=-1<0,$$ значит, это не подходит.
Остаётся
$$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
в) $$x=2\pi k \text{ или } x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.
