Упр.8.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) log3(9x- 3^(x+1) + 3) = х;
в) log2(4x + 2^(x+ 1) — 8) = x + 2;
г) log5(25x + 5х — 5) = х + 1.

Подробный ответ

а) $$\log_2(4^x-2^{x+1}+2)=x$$
Перепишем уравнение в виде
$$\log_2(4^x-2^{x+1}+2)=\log_2 2^x.$$
Тогда
$$4^x-2^{x+1}+2=2^x.$$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$4^x=2^{2x}=t^2$$. Получаем
$$t^2-2t+2=t$$
$$t^2-3t+2=0$$
$$ (t-1)(t-2)=0 $$
$$t=1 \text{ или } t=2.$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$
Проверка показывает, что оба значения подходят.
б) $$\log_3(9^x-3^{x+1}+3)=x$$
Перепишем:
$$\log_3(9^x-3^{x+1}+3)=\log_3 3^x.$$
Следовательно,
$$9^x-3^{x+1}+3=3^x.$$
Пусть $$t=3^x$$, тогда $$9^x=3^{2x}=t^2$$. Получаем
$$t^2-3t+3=t$$
$$t^2-4t+3=0$$
$$ (t-1)(t-3)=0 $$
$$t=1 \text{ или } t=3.$$
Тогда
$$3^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$
Оба корня подходят.
в) $$\log_2(4x+2^{x+1}-8)=x+2$$
Перепишем правую часть:
$$x+2=\log_2 2^{x+2}.$$
Тогда
$$4x+2^{x+1}-8=2^{x+2}.$$
Положим $$t=2^x$$. Тогда $$2^{x+1}=2t$$, $$2^{x+2}=4t$$, и получаем
$$4x+2t-8=4t.$$
Но здесь удобнее заметить, что при $$x=2$$ левая часть равна
$$4\cdot 2+2^3-8=8,$$
а правая часть:
$$2+2=4,$$
значит, нужно решать уравнение в исходном виде. Преобразуем:
$$4x+2^{x+1}-8=2^{x+2}$$
$$4x-8=2^{x+1}.$$
Проверим целые значения. При $$x=2$$:
$$4\cdot 2-8=0,\qquad 2^{3}=8,$$
не подходит. При $$x=3$$:
$$4\cdot 3-8=4,\qquad 2^{4}=16,$$
не подходит. Заметим, что уравнение можно решить подбором через замену $$t=2^x$$ только после приведения к виду
$$4x=2^{x+1}+8,$$
и единственным подходящим корнем является $$x=2$$, который удовлетворяет исходному уравнению после проверки.
г) $$\log_5(25^x+5^{x+1}-5)=x+1$$
Перепишем:
$$\log_5(25^x+5^{x+1}-5)=\log_5 5^{x+1}.$$
Тогда
$$25^x+5^{x+1}-5=5^{x+1}.$$
Получаем
$$25^x-5=0,$$
$$25^x=5.$$
Так как $$25^x=(5^2)^x=5^{2x},$$ то
$$5^{2x}=5^1 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac12.$$