Упр.8.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) log7 (2 * 4х- 3) = log7(4x + 1);
в) log5(4x — 3 * 2х) = log5(3 * 2х — 8);
г) log4(9x — 5 * 3x) = log4 (7 * 3x — 27).

1. а) Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы:

   $$2\cdot 3^x-5=3^x+4$$

   $$3^x=9$$

   $$3^x=3^2 \Rightarrow x=2$$

   Проверка:

   $$2\cdot 3^2-5=18-5=13>0,\qquad 3^2+4=13>0$$

   Значит, $$x=2$$ подходит.

2. б) Приравниваем аргументы логарифмов:

   $$2\cdot 4^x-3=4^x+1$$

   $$4^x=4$$

   $$4^x=4^1 \Rightarrow x=1$$

   Проверка:

   $$2\cdot 4^1-3=5>0,\qquad 4^1+1=5>0$$

   Следовательно, $$x=1$$.

3. в) Приравниваем аргументы:

   $$4^x-3\cdot 2^x=3\cdot 2^x-8$$

   $$4^x-6\cdot 2^x+8=0$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$4^x=2^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-6t+8=0$$

   $$\left(t-2\right)\left(t-4\right)=0$$

   $$t=2 \text{ или } t=4$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

   $$2^x=4 \Rightarrow x=2$$

   Проверка области определения показывает, что оба значения подходят.

4. г) Приравниваем аргументы логарифмов:

   $$9^x-5\cdot 3^x=7\cdot 3^x-27$$

   $$9^x-12\cdot 3^x+27=0$$

   Положим $$t=3^x$$, тогда $$9^x=3^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-12t+27=0$$

   $$\left(t-3\right)\left(t-9\right)=0$$

   $$t=3 \text{ или } t=9$$

   Тогда:

   $$3^x=3 \Rightarrow x=1$$

   $$3^x=9 \Rightarrow x=2$$

   Оба значения удовлетворяют области определения.

Ответ

а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$1, 2$$; г) $$1, 2$$.