Упр.8.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 8.16*
а) $$\log_{11}\left(\frac{x+20}{x}\right)=\frac{\log_2 41}{\log_2 11}.$$
По формуле перехода к новому основанию:
$$\frac{\log_2 41}{\log_2 11}=\log_{11}41.$$
Тогда
$$\log_{11}\left(\frac{x+20}{x}\right)=\log_{11}41,$$
откуда
$$\frac{x+20}{x}=41.$$
Решаем уравнение:
$$x+20=41x,$$
$$20=40x,$$
$$x=0{,}5.$$
Проверка:
$$\frac{0{,}5+20}{0{,}5}=41,$$
значит, решение верно.
б) $$\log_{13}\left(\frac{x+11}{x}\right)=\frac{\log_3 23}{\log_3 13}.$$
По формуле перехода к новому основанию:
$$\frac{\log_3 23}{\log_3 13}=\log_{13}23.$$
Тогда
$$\log_{13}\left(\frac{x+11}{x}\right)=\log_{13}23,$$
откуда
$$\frac{x+11}{x}=23.$$
Решаем уравнение:
$$x+11=23x,$$
$$11=22x,$$
$$x=0{,}5.$$
Проверка:
$$\frac{0{,}5+11}{0{,}5}=23,$$
значит, решение верно.
в) $$\log_5\left(\frac{x+10}{x}\right)=\frac{\log_{11}21}{\log_{11}5}.$$
По формуле перехода к новому основанию:
$$\frac{\log_{11}21}{\log_{11}5}=\log_5 21.$$
Тогда
$$\log_5\left(\frac{x+10}{x}\right)=\log_5 21,$$
откуда
$$\frac{x+10}{x}=21.$$
Решаем уравнение:
$$x+10=21x,$$
$$10=20x,$$
$$x=0{,}5.$$
Проверка:
$$\frac{0{,}5+10}{0{,}5}=21,$$
значит, решение верно.
г) $$\log_7\left(\frac{x+15}{x}\right)=\frac{\log_{13}31}{\log_{13}7}.$$
По формуле перехода к новому основанию:
$$\frac{\log_{13}31}{\log_{13}7}=\log_7 31.$$
Тогда
$$\log_7\left(\frac{x+15}{x}\right)=\log_7 31,$$
откуда
$$\frac{x+15}{x}=31.$$
Решаем уравнение:
$$x+15=31x,$$
$$15=30x,$$
$$x=0{,}5.$$
Проверка:
$$\frac{0{,}5+15}{0{,}5}=31,$$
значит, решение верно.
Ответ
а) $$0{,}5$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}5$$; г) $$0{,}5$$.
