Упр.8.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Объясните, почему переход от уравнения $$\log_a f(x)=\log_a g(x)$$, где $$a>0$$, $$a\ne1$$, к уравнению $$f(x)=g(x)$$ может привести к появлению корней, посторонних для первого уравнения.

Из равенства

$$\log_a f(x)=\log_a g(x), \qquad a>0,\ a\ne 1$$

можно перейти к уравнению

$$f(x)=g(x),$$

но при этом нужно учитывать область определения логарифмов:

$$f(x)>0,\qquad g(x)>0.$$

Уравнение $$f(x)=g(x)$$ может иметь корни, для которых одно или оба выражения $$f(x)$$ и $$g(x)$$ не положительны. Такие корни не подходят для исходного уравнения, потому что логарифм от неположительного числа не определён.

Значит, при переходе к уравнению $$f(x)=g(x)$$ могут появиться посторонние корни, и их нужно обязательно проверять по области определения.

Ответ

Потому что из равенства логарифмов следует не только $$f(x)=g(x)$$, но и условия $$f(x)>0$$, $$g(x)>0$$. При решении уравнения $$f(x)=g(x)$$ эти условия могут не выполняться, поэтому появляются посторонние корни.