Упр.8.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$\sqrt{x^2+6x-2a}=x+2$$ имеет единственный корень?

Возведём уравнение в квадрат:

$$\sqrt{x^2+6x-2a}=x+2$$

$$x^2+6x-2a=(x+2)^2=x^2+4x+4$$

$$2x=2a+4$$

$$x=a+2$$

Теперь проверим, при каких значениях параметра это значение действительно является корнем исходного уравнения.

Подставим $$x=a+2$$:

$$\sqrt{(a+2)^2+6(a+2)-2a}=\sqrt{a^2+8a+16}=\sqrt{(a+4)^2}=|a+4|$$

Правая часть равна

$$x+2=a+4$$

Чтобы равенство выполнялось, нужно

$$|a+4|=a+4$$

Это верно тогда и только тогда, когда

$$a+4\ge 0,$$

то есть

$$a\ge -4.$$

При этом найденное значение $$x=a+2$$ единственно, значит исходное уравнение имеет единственный корень именно при этих значениях параметра.

Ответ

$$a\ge -4$$