Упр.8.11 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$|x^2-4x+2|=x^2-6x+10$$;
• б) $$|x^2-2x-21|=x^2-4x+6$$;
• в) $$|2\lg x-3|=3\lg x-2$$;
• г) $$|3\lg x-4|=2\lg x-1$$;
• д) $$|2^{x+1}-7|=5-2x$$;
• е) $$|2^{x+1}-7|=2x+1$$.

1. а) $$|x^2-4x+2|=x^2-6x+10$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$(x^2-4x+2)^2=(x^2-6x+10)^2$$

   $$\bigl(x^2-4x+2-(x^2-6x+10)\bigr)\bigl(x^2-4x+2+(x^2-6x+10)\bigr)=0$$

   $$(2x-8)(2x^2-10x+12)=0$$

   $$2x-8=0 \quad \text{или} \quad 2x^2-10x+12=0$$

   $$x=4$$

   $$x^2-5x+6=0$$

   $$(x-2)(x-3)=0$$

   $$x=2 \quad \text{или} \quad x=3$$

   Проверка показывает, что все три значения подходят.

2. б) $$|x^2-2x-2|=x^2-4x+6$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$(x^2-2x-2)^2=(x^2-4x+6)^2$$

   $$\bigl(x^2-2x-2-(x^2-4x+6)\bigr)\bigl(x^2-2x-2+(x^2-4x+6)\bigr)=0$$

   $$(2x-8)(2x^2-6x+4)=0$$

   $$2x-8=0 \quad \text{или} \quad 2x^2-6x+4=0$$

   $$x=4$$

   $$x^2-3x+2=0$$

   $$(x-1)(x-2)=0$$

   $$x=1 \quad \text{или} \quad x=2$$

   Проверка показывает, что все три значения подходят.

3. в) $$|2\lg x-3|=3\lg x-2$$

   Положим $$t=\lg x$$, тогда

   $$|2t-3|=3t-2$$

   Правая часть должна быть неотрицательной:

   $$3t-2\ge 0$$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$2t-3\ge 0$$, тогда

   $$2t-3=3t-2$$

   $$t=-1$$

   Но это не подходит, так как $$2t-3<0$$.

   2) $$2t-3<0$$, тогда

   $$3-2t=3t-2$$

   $$5t=5,\quad t=1$$

   Тогда $$\lg x=1$$, откуда $$x=10$$.

4. г) $$|3\lg x-4|=2\lg x-1$$

   Положим $$t=\lg x$$. Получаем:

   $$|3t-4|=2t-1$$

   Правая часть неотрицательна:

   $$2t-1\ge 0$$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$3t-4\ge 0$$, тогда

   $$3t-4=2t-1$$

   $$t=3$$

   Значит, $$x=1000$$.

   2) $$3t-4<0$$, тогда

   $$4-3t=2t-1$$

   $$5t=5,\quad t=1$$

   Значит, $$x=10$$.

5. д) $$|2^{x+1}-7|=5-2^x$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{x+1}=2t$$. Получаем:

   $$|2t-7|=5-t$$

   Правая часть неотрицательна, значит $$t\le 5$$.

   Рассмотрим случаи.

   1) $$2t-7\ge 0$$, тогда

   $$2t-7=5-t$$

   $$3t=12,\quad t=4$$

   Тогда $$2^x=4$$, откуда $$x=2$$.

   2) $$2t-7<0$$, тогда

   $$7-2t=5-t$$

   $$t=2$$

   Тогда $$2^x=2$$, откуда $$x=1$$.

6. е) $$|2^{x+1}-7|=2^x+1$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{x+1}=2t$$. Получаем:

   $$|2t-7|=t+1$$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$2t-7\ge 0$$, тогда

   $$2t-7=t+1$$

   $$t=8$$

   Значит, $$2^x=8$$, откуда $$x=3$$.

   2) $$2t-7<0$$, тогда

   $$7-2t=t+1$$

   $$3t=6,\quad t=2$$

   Значит, $$2^x=2$$, откуда $$x=1$$.

Ответ

а) $$2,\ 3,\ 4$$;
б) $$1,\ 2,\ 4$$;
в) $$10$$;
г) $$10,\ 1000$$;
д) $$1,\ 2$$;
е) $$1,\ 3$$.