Упр.8.11 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

6) |x2 — 2x — 21 = x2 — 4x + 6;
в) |2lgx — 3 | = 3lgx — 2;
г) |3lgx-4| = 2lgx-1;
д) |2^(x + 1) — 7| = 5 — 2x;
e) |2^(x + 1) — 7| = 2x + 1.

1. а) $$|x^2-4x+2|=x^2-6x+10$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$ (x^2-4x+2)^2=(x^2-6x+10)^2 $$

   $$ \bigl(x^2-4x+2-(x^2-6x+10)\bigr)\bigl(x^2-4x+2+(x^2-6x+10)\bigr)=0 $$

   $$ (2x-8)(2x^2-10x+12)=0 $$

   $$ 2x-8=0 \quad \text{или} \quad 2x^2-10x+12=0 $$

   $$ x=4 $$

   $$ x^2-5x+6=0 $$

   $$ (x-2)(x-3)=0 $$

   $$ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 $$

   Проверка показывает, что все три значения подходят.

2. б) $$|x^2-2x-2|=x^2-4x+6$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$ (x^2-2x-2)^2=(x^2-4x+6)^2 $$

   $$ \bigl(x^2-2x-2-(x^2-4x+6)\bigr)\bigl(x^2-2x-2+(x^2-4x+6)\bigr)=0 $$

   $$ (2x-8)(2x^2-6x+4)=0 $$

   $$ 2x-8=0 \quad \text{или} \quad 2x^2-6x+4=0 $$

   $$ x=4 $$

   $$ x^2-3x+2=0 $$

   $$ (x-1)(x-2)=0 $$

   $$ x=1 \quad \text{или} \quad x=2 $$

   Проверка показывает, что все три значения подходят.

3. в) $$|2\lg x-3|=3\lg x-2$$

   Положим $$t=\lg x$$, тогда

   $$ |2t-3|=3t-2 $$

   Правая часть должна быть неотрицательной:

   $$ 3t-2\ge 0 $$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$2t-3\ge 0$$, тогда

   $$ 2t-3=3t-2 $$

   $$ t=-1 $$

   Но это не подходит, так как $$2t-3<0$$.

   2) $$2t-3<0$$, тогда

   $$ 3-2t=3t-2 $$

   $$ 5t=5,\quad t=1 $$

   Тогда $$\lg x=1$$, откуда $$x=10$$.

4. г) $$|3\lg x-4|=2\lg x-1$$

   Положим $$t=\lg x$$. Получаем:

   $$ |3t-4|=2t-1 $$

   Правая часть неотрицательна:

   $$ 2t-1\ge 0 $$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$3t-4\ge 0$$, тогда

   $$ 3t-4=2t-1 $$

   $$ t=3 $$

   Значит, $$x=1000$$.

   2) $$3t-4<0$$, тогда

   $$ 4-3t=2t-1 $$

   $$ 5t=5,\quad t=1 $$

   Значит, $$x=10$$.

5. д) $$|2^{x+1}-7|=5-2^x$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{x+1}=2t$$. Получаем:

   $$ |2t-7|=5-t $$

   Правая часть неотрицательна, значит $$t\le 5$$.

   Рассмотрим случаи.

   1) $$2t-7\ge 0$$, тогда

   $$ 2t-7=5-t $$

   $$ 3t=12,\quad t=4 $$

   Тогда $$2^x=4$$, откуда $$x=2$$.

   2) $$2t-7<0$$, тогда

   $$ 7-2t=5-t $$

   $$ t=2 $$

   Тогда $$2^x=2$$, откуда $$x=1$$.

6. е) $$|2^{x+1}-7|=2^x+1$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{x+1}=2t$$. Получаем:

   $$ |2t-7|=t+1 $$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$2t-7\ge 0$$, тогда

   $$ 2t-7=t+1 $$

   $$ t=8 $$

   Значит, $$2^x=8$$, откуда $$x=3$$.

   2) $$2t-7<0$$, тогда

   $$ 7-2t=t+1 $$

   $$ 3t=6,\quad t=2 $$

   Значит, $$2^x=2$$, откуда $$x=1$$.

Ответ

а) $$2,\ 3,\ 4$$;
б) $$1,\ 2,\ 4$$;
в) $$10$$;
г) $$10,\ 1000$$;
д) $$1,\ 2$$;
е) $$1,\ 3$$.