Упр.8.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) корень (log2^2(х) + 5 = 1 — log3(х);
в) корень (4^(x + 1) — 2^(x + 1) — 3) = 2х +1;
г) корень (3* 4x — 2x + 2) = 2x + 1;
д) корень (1 — cos х) = sinx;
е) корень (1 + sinx) = cosx.
а) Обозначим $$t=\log_2 x$$, тогда
$$\sqrt{t^2+3}=t-1.$$
Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$t-1\ge 0,$$ то есть $$t\ge 1.$$
Возведём в квадрат:
$$t^2+3=(t-1)^2=t^2-2t+1.$$
$$2t=-2,\quad t=-1.$$
Но $$t=-1$$ не удовлетворяет условию $$t\ge 1,$$ значит корней нет.
б) Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда
$$\sqrt{t^2+5}=1-t.$$
Правая часть неотрицательна, значит $$1-t\ge 0,$$ то есть $$t\le 1.$$
Возведём в квадрат:
$$t^2+5=(1-t)^2=t^2-2t+1.$$
$$2t=-4,\quad t=-2.$$
Тогда
$$\log_3 x=-2,\quad x=3^{-2}=\frac19.$$
Проверка: $$\sqrt{\left(\log_3 \frac19\right)^2+5}=\sqrt{4+5}=3,$$ а $$1-\log_3 \frac19=1-(-2)=3.$$
в) Обозначим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и
$$\sqrt{4^{x+1}-2^{x+1}-3}=2^x+1$$
перепишется как
$$\sqrt{4t^2-2t-3}=t+1.$$
Возведём в квадрат:
$$4t^2-2t-3=(t+1)^2=t^2+2t+1.$$
$$3t^2-4t-4=0.$$
$$D=16+48=64,\quad t=\frac{4\pm 8}{6}.$$
$$t_1=2,\quad t_2=-\frac23.$$
Так как $$t>0,$$ подходит только $$t=2.$$ Тогда
$$2^x=2,\quad x=1.$$
г) Обозначим $$t=2^x,$$ тогда
$$\sqrt{3\cdot 4^x-2^x+2}=2^x+1$$
примет вид
$$\sqrt{3t^2-t+2}=t+1.$$
Возведём в квадрат:
$$3t^2-t+2=(t+1)^2=t^2+2t+1.$$
$$2t^2-3t+1=0.$$
$$D=9-8=1,\quad t=\frac{3\pm 1}{4}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=\frac12.$$
Оба значения положительны, значит
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1.$$
д) Используем формулу $$1-\cos x=2\sin^2\frac x2.$$ Тогда
$$\sqrt{1-\cos x}=\sin x.$$
Левая часть неотрицательна, значит $$\sin x\ge 0.$$ Возведём в квадрат:
$$1-\cos x=\sin^2 x.$$
Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$1-\cos x=1-\cos^2 x,$$
$$\cos^2 x-\cos x=0,$$
$$\cos x(\cos x-1)=0.$$
Отсюда $$\cos x=0$$ или $$\cos x=1.$$
Проверка показывает, что при $$\cos x=0$$ получаем верное равенство, а при $$\cos x=1$$ правая часть отрицательной быть не может. Поэтому
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
е) Возведём в квадрат:
$$1+\sin x=\cos^2 x.$$
Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ получаем
$$1+\sin x=1-\sin^2 x,$$
$$\sin^2 x+\sin x=0,$$
$$\sin x(\sin x+1)=0.$$
Значит, $$\sin x=0$$ или $$\sin x=-1.$$
Проверка даёт:
при $$\sin x=0$$ подходит $$x=2\pi k,$$
при $$\sin x=-1$$ левая часть равна $$0,$$ а правая $$\cos x=0,$$ поэтому это тоже решение: $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k.$$
Ответ
а) корней нет; б) $$x=\frac19$$; в) $$x=1$$; г) $$x=0,\,-1$$; д) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$; е) $$x=2\pi k$$ или $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.
