Упр.78 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) корень (x-1) = x-3;
в) корень (1+x) = 2x-4;
г) корень (x+7) = 4x-5;
д) x+ 3 корень (x-5) = 5;
е) x+ 2 корень (x-6) = 6;
ж) корень (x4-3x-1) = x2-1;
з) корень (x4+x-9) = x2-1;
и) корень (x(x-2)(x+3)) = 3-x;
к) корень (x(x+4)(x-3)) = 6-x.
$$\sqrt{10-x}=4-x$$
Решаем как систему:
$$ \begin{cases} 10-x=(4-x)^2,\\ 4-x\ge 0 \end{cases} $$
$$ 10-x=16-8x+x^2 $$
$$ x^2-7x+6=0 $$
$$ (x-1)(x-6)=0 $$
$$ x=1 \text{ или } x=6 $$
С учётом условия $$x\le 4$$ подходит только $$x=1$$.
$$\sqrt{x-1}=x-3$$
$$ \begin{cases} x-1=(x-3)^2,\\ x-3\ge 0 \end{cases} $$
$$ x-1=x^2-6x+9 $$
$$ x^2-7x+10=0 $$
$$ (x-2)(x-5)=0 $$
$$ x=2 \text{ или } x=5 $$
С учётом условия $$x\ge 3$$ подходит только $$x=5$$.
$$\sqrt{1+x}=2x-4$$
$$ \begin{cases} 1+x=(2x-4)^2,\\ 2x-4\ge 0 \end{cases} $$
$$ 1+x=4x^2-16x+16 $$
$$ 4x^2-17x+15=0 $$
$$ (4x-5)(x-3)=0 $$
$$ x=\frac54 \text{ или } x=3 $$
С учётом условия $$x\ge 2$$ подходит только $$x=3$$.
$$\sqrt{x+7}=4x-5$$
$$ \begin{cases} x+7=(4x-5)^2,\\ 4x-5\ge 0 \end{cases} $$
$$ x+7=16x^2-40x+25 $$
$$ 16x^2-41x+18=0 $$
$$ (16x-9)(x-2)=0 $$
$$ x=\frac98 \text{ или } x=2 $$
С учётом условия $$x\ge \frac54$$ подходит только $$x=2$$.
$$3\sqrt{x-5}=5-x$$
Правая часть неотрицательна, а левая неотрицательна всегда, значит $$5-x\ge 0$$ и $$x\le 5$$. Но из области определения $$x\ge 5$$, следовательно, $$x=5$$.
Проверка: $$3\sqrt{5-5}=0,\quad 5-5=0$$.
$$2\sqrt{x-6}=6-x$$
$$ \begin{cases} 4(x-6)=(6-x)^2,\\ 6-x\ge 0 \end{cases} $$
$$ 4x-24=x^2-12x+36 $$
$$ x^2-16x+60=0 $$
$$ (x-6)(x-10)=0 $$
$$ x=6 \text{ или } x=10 $$
С учётом условия $$x\le 6$$ подходит только $$x=6$$.
$$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1$$
$$ \begin{cases} x^4-3x-1=(x^2-1)^2,\\ x^2-1\ge 0 \end{cases} $$
$$ x^4-3x-1=x^4-2x^2+1 $$
$$ 2x^2-3x-2=0 $$
$$ (2x+1)(x-2)=0 $$
$$ x=-\frac12 \text{ или } x=2 $$
С учётом условия $$x^2\ge 1$$ подходит только $$x=2$$.
$$\sqrt{x^4+x-9}=x^2-1$$
$$ \begin{cases} x^4+x-9=(x^2-1)^2,\\ x^2-1\ge 0 \end{cases} $$
$$ x^4+x-9=x^4-2x^2+1 $$
$$ 2x^2+x-10=0 $$
$$ (2x+5)(x-2)=0 $$
$$ x=-\frac52 \text{ или } x=2 $$
С учётом условия $$x^2\ge 1$$ подходят оба корня.
$$\sqrt{x(x-2)(x+3)}=3-x$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$3-x\ge 0$$, то есть $$x\le 3$$.
Возводим в квадрат:
$$ x(x-2)(x+3)=(3-x)^2 $$
$$ x^3+x^2-6x=9-6x+x^2 $$
$$ x^3=9 $$
$$ x= \sqrt[3]{9} $$
Это значение удовлетворяет условию $$x\le 3$$.
$$\sqrt{x(x+4)(x-3)}=6-x$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$6-x\ge 0$$, то есть $$x\le 6$$.
Возводим в квадрат:
$$ x(x+4)(x-3)=(6-x)^2 $$
$$ x^3+x^2-12x=x^2-12x+36 $$
$$ x^3=36 $$
$$ x=\sqrt[3]{36} $$
Это значение удовлетворяет условию $$x\le 6$$.
Ответ
а) $$x=1$$; б) $$x=5$$; в) $$x=3$$; г) $$x=2$$; д) $$x=5$$; е) $$x=6$$; ж) $$x=2$$; з) $$x=-\frac52,\;2$$; и) $$x=\sqrt[3]{9}$$; к) $$x=\sqrt[3]{36}$$.
