Упр.76 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) (3x + 5)(1/2*x + 1)2 (3х + 7) = 1/3.

а) Обозначим

$$t=(10x-5)^2.$$

Тогда

$$10x-4=(10x-5)+1,\qquad 10x-6=(10x-5)-1,$$

и уравнение принимает вид

$$t(t-1)=72.$$

Получаем квадратное уравнение

$$t^2-t-72=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-9\right)\left(t+8\right)=0.$$

Отсюда

$$t=9 \quad \text{или} \quad t=-8.$$

Так как $$t=(10x-5)^2 \ge 0,$$ то значение $$t=-8$$ не подходит.

Решаем

$$\left(10x-5\right)^2=9,$$

$$10x-5=3 \quad \text{или} \quad 10x-5=-3.$$

Тогда

$$x=\frac{8}{10}=\frac45 \quad \text{или} \quad x=\frac{2}{10}=\frac15.$$

б) Обозначим

$$t=(x+2)^2.$$

Тогда

$$3x+5=3(x+2)-1,\qquad \frac12x+1=\frac12(x+2),\qquad 3x+7=3(x+2)+1.$$

Уравнение преобразуется к виду

$$\left(9(x+2)^2-1\right)(x+2)^2=\frac13,$$

то есть

$$t(9t-1)=\frac13.$$

Умножим на $$3$$:

$$27t^2-3t-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-3)^2-4\cdot 27\cdot(-1)=9+108=117,$$

$$t=\frac{3\pm\sqrt{117}}{54}=\frac{3\pm 3\sqrt{13}}{54}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{18}.$$

Так как $$t=(x+2)^2\ge 0,$$ подходит только

$$t=\frac{1+\sqrt{13}}{18}.$$

Тогда

$$\left(x+2\right)^2=\frac{1+\sqrt{13}}{18},$$

$$x+2=\pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{13}}{18}}.$$

Следовательно,

$$x=-2\pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{13}}{18}}.$$

Ответ

а) $$x=\frac15,\ \frac45$$; б) $$x=-2\pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{13}}{18}}.$$