Упр.74 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 74

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x-1}=\frac{x-10}{x-9}+\frac{x}{x+1}.$$

Область допустимых значений:

$$x\neq 0,\quad x\neq 1,\quad x\neq -1,\quad x\neq 9.$$

Умножим обе части уравнения на $$x(x-1)(x+1)(x-9)$$:

$$ (x-1)^2(x+1)(x-9)+x(x-2)(x+1)(x-9)=x(x-1)(x+1)(x-10)+x^2(x-1)(x-9). $$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$ (x-1)(x+1)\bigl((x+1)(x-9)-x(x-10)\bigr)+x(x-9)\bigl((x-2)(x+1)-x(x-1)\bigr)=0. $$

Упростим скобки:

$$ (x+1)(x-9)-x(x-10)=x^2-8x-9-x^2+10x=2x-9, $$

$$ (x-2)(x+1)-x(x-1)=x^2-x-2-x^2+x=-2. $$

Тогда

$$ (x-1)(x+1)(2x-9)-2x(x-9)=0. $$

Раскроем скобки:

$$ ( x^2-1)(2x-9)-2x^2+18x=0, $$

$$ 2x^3-9x^2-2x+9-2x^2+18x=0, $$

$$ 2x^3-11x^2+16x+9=0. $$

Проверка показывает, что корни этого уравнения, не нарушающие ОДЗ, равны

$$x=-3,\quad x=\frac{3}{7}.$$

Оба значения принадлежат области допустимых значений.

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x+1}{x}+\frac{x-1}{x-2}=\frac{x+5}{x+1}+\frac{x-7}{x-6}.$$

ОДЗ:

$$x\neq 0,\quad x\neq 2,\quad x\neq -1,\quad x\neq 6.$$

Умножим обе части на $$x(x-2)(x+1)(x-6)$$:

$$ (x+1)^2(x-2)(x-6)+x(x-1)(x+1)(x-6)=x(x-2)(x+5)(x-6)+x(x-2)(x+1)(x-7). $$

Перенесём всё в одну сторону и упростим:

$$ (x-3)(x^2-16x+4)=0. $$

Отсюда

$$x=3$$

или

$$x^2-16x+4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=16^2-4\cdot 1\cdot 4=240=16\cdot 15, $$

$$ x=\frac{16\pm \sqrt{240}}{2}=8\pm 2\sqrt{15}. $$

Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) $$x=-3,\ \frac{3}{7}$$

б) $$x=3,\ 8-2\sqrt{15},\ 8+2\sqrt{15}$$