Упр.73 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 73 (МИСиС)

ОДЗ: знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому

$$x^2-1\ne 0,\qquad x^3-1\ne 0.$$

Так как

$$x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$$

то

$$x\ne 1,\qquad x\ne -1.$$

Умножим обе части уравнения на $$ (x-1)(x+1)(x^2+x+1) $$:

$$ 30(x^2+x+1)-13(x-1)(x+1)=(18x+7)(x+1). $$

Раскроем скобки:

$$ 30x^2+30x+30-13(x^2-1)=18x^2+25x+7. $$

$$ 30x^2+30x+30-13x^2+13=18x^2+25x+7. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ 17x^2+5x+43=18x^2+25x+7, $$

$$ x^2+20x-36=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=20^2-4\cdot 1\cdot(-36)=400+144=544=16\cdot 34, $$

$$ x=\frac{-20\pm \sqrt{544}}{2}=\frac{-20\pm 4\sqrt{34}}{2}=-10\pm 2\sqrt{34}. $$

Оба корня не равны $$1$$ и $$-1$$, значит, подходят.

Ответ

$$x=-10-2\sqrt{34},\quad x=-10+2\sqrt{34}.$$