Упр.70 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 70 (РЭА)

1. $$\frac{x+56}{9x^2-16}+\frac{1}{8-6x}=\frac{18}{3x^2+4x}$$

   Область допустимых значений:
   $$9x^2-16\ne 0,\quad 8-6x\ne 0,\quad 3x^2+4x\ne 0$$
   $$x\ne \pm \frac{4}{3},\quad x\ne \frac{4}{3},\quad x\ne 0$$
   Значит,
   $$x\ne -\frac{4}{3},\quad x\ne 0,\quad x\ne \frac{4}{3}.$$

   Преобразуем:
   $$\frac{x+56}{(3x-4)(3x+4)}-\frac{1}{2(3x-4)}=\frac{18}{x(3x+4)}$$
   Умножим обе части на $$2x(3x-4)(3x+4)$$:
   $$2x(x+56)-x(3x+4)=36(3x-4)$$
   $$2x^2+112x-3x^2-4x=108x-144$$
   $$x^2=144$$
   $$x_1=-12,\quad x_2=12.$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2. $$\frac{6}{7x-21}-\frac{1}{x^2-6x+9}+\frac{1}{x^2-9}=0$$

   ОДЗ:
   $$7x-21\ne 0,\quad x^2-6x+9\ne 0,\quad x^2-9\ne 0$$
   $$x\ne 3,\quad x\ne 3,\quad x\ne \pm 3.$$
   Значит, $$x\ne -3,\; x\ne 3.$$

   Преобразуем:
   $$\frac{6}{7(x-3)}-\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)(x+3)}=0$$
   Умножим на $$7(x-3)^2(x+3)$$:
   $$6(x-3)(x+3)-7(x+3)+7(x-3)=0$$
   $$6(x^2-9)-7x-21+7x-21=0$$
   $$6x^2-54-42=0$$
   $$6x^2=96$$
   $$x^2=16$$
   $$x_1=-4,\quad x_2=4.$$

   Оба корня подходят.

3. $$\frac{1}{4x-1}-\frac{2}{1-16x^2}+\frac{x-3}{12x-9}=0$$

   ОДЗ:
   $$4x-1\ne 0,\quad 1-16x^2\ne 0,\quad 12x-9\ne 0$$
   $$x\ne \frac14,\quad x\ne \pm \frac14,\quad x\ne \frac34.$$
   Значит, $$x\ne -\frac14,\; x\ne \frac14,\; x\ne \frac34.$$

   Преобразуем:
   $$\frac{1}{4x-1}-\frac{2}{(1-4x)(1+4x)}+\frac{x-3}{3(4x-3)}=0$$
   Умножим на $$3(4x-1)(4x+1)(4x-3)$$:
   $$3(4x+1)(4x-3)-6(4x-3)+ (x-3)(4x-1)(4x+1)=0$$
   После раскрытия скобок получаем:
   $$4x^2-x=0$$
   $$x(4x-1)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=\frac14.$$

   Корень $$x=\frac14$$ не принадлежит ОДЗ, поэтому
   $$x=0.$$

4. $$\frac{4}{x^2-10x+25}+\frac{1}{25-x^2}-\frac{1}{x+5}=0$$

   ОДЗ:
   $$x^2-10x+25\ne 0,\quad 25-x^2\ne 0,\quad x+5\ne 0$$
   $$x\ne 5,\quad x\ne \pm 5.$$
   Значит, $$x\ne -5,\; x\ne 5.$$

   Преобразуем:
   $$\frac{4}{(x-5)^2}+\frac{1}{(5-x)(5+x)}-\frac{1}{x+5}=0$$
   Так как $$25-x^2=(5-x)(5+x)=-(x-5)(x+5),$$ то
   $$\frac{4}{(x-5)^2}-\frac{1}{(x-5)(x+5)}-\frac{1}{x+5}=0.$$
   Умножим на $$ (x-5)^2(x+5)$$:
   $$4(x+5)-(x-5)-(x-5)^2=0$$
   $$4x+20-x+5-x^2+10x-25=0$$
   $$x^2-13x=0$$
   $$x(x-13)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=13.$$

   Оба корня подходят.

Ответ

а) $$x=-12,\; 12$$
б) $$x=-4,\; 4$$
в) $$x=0$$
г) $$x=0,\; 13$$