Упр.7.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) (5cos2x — 1)7 = (cos2x + 1)7;
в) (4x — 5)99 = (3*2x — 1)99;
г) (9x — 1)95 = (3x +5)95.

1. а)

   Так как степени одинаковые и равны нечётному числу, то приравниваем основания:
   $$5\sin^2 x-4=\sin^2 x-1.$$
   Тогда
   $$4\sin^2 x=3,$$
   $$\sin^2 x=\frac34.$$
   Отсюда
   $$\sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$
   Значит,
   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. б)

   Приравниваем основания:
   $$5\cos^2 x-1=\cos^2 x+1.$$
   Тогда
   $$4\cos^2 x=2,$$
   $$\cos^2 x=\frac12.$$
   Следовательно,
   $$\cos 2x=0,$$
   так как
   $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac12.$$
   Получаем
   $$\cos 2x=0,$$
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

3. в)

   Перепишем уравнение:
   $$\left(4^x-5\right)^{99}=\left(3\cdot 2^x-1\right)^{99}.$$
   Так как степень нечётная, то
   $$4^x-5=3\cdot 2^x-1.$$
   Обозначим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда $$4^x=t^2,$$ и получаем
   $$t^2-5=3t-1,$$
   $$t^2-3t-4=0.$$
   Разложим на множители:
   $$\left(t-4\right)\left(t+1\right)=0.$$
   С учётом $$t>0$$ подходит только
   $$t=4.$$
   Значит,
   $$2^x=4,$$
   $$x=2.$$

4. г)

   Аналогично:
   $$\left(9^x-1\right)^{95}=\left(3^x+5\right)^{95}.$$
   Тогда
   $$9^x-1=3^x+5.$$
   Обозначим $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда $$9^x=t^2,$$ и получаем
   $$t^2-1=t+5,$$
   $$t^2-t-6=0.$$
   Разложим на множители:
   $$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0.$$
   С учётом $$t>0$$ подходит только
   $$t=3.$$
   Значит,
   $$3^x=3,$$
   $$x=1.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\ \frac{2\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z$$;
в) $$x=2$$;
г) $$x=1$$.