Упр.7.4 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 7.4. Решите уравнение:
   а) $$\cos 2x-\cos^2 x-\sin x=0$$;
   б) $$\cos 2x-\cos^2 x+\sin x=0$$;
   в) $$\cos 2x+\cos^2 x-0{,}5=0$$;
   г) $$\cos 2x-\sin^2 x+0{,}5=0$$.

1. а)

   $$\cos 2x-\cos^2 x-\sin x=0$$
   $$\cos^2 x-\sin^2 x-\cos^2 x-\sin x=0$$
   $$-\sin^2 x-\sin x=0$$
   $$\sin x(\sin x+1)=0$$

   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-1.$$

   Тогда
   $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

2. б)

   $$\cos 2x-\cos^2 x+\sin x=0$$
   $$\cos^2 x-\sin^2 x-\cos^2 x+\sin x=0$$
   $$-\sin^2 x+\sin x=0$$
   $$\sin x(1-\sin x)=0$$

   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

   Тогда
   $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

3. в)

   $$\cos 2x+\cos^2 x-0{,}5=0$$
   $$\cos 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}-\frac12=0$$
   $$2\cos 2x+1+\cos 2x-1=0$$
   $$3\cos 2x=0$$
   $$\cos 2x=0.$$

   Тогда
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$

4. г)

   $$\cos 2x-\sin^2 x+0{,}5=0$$
   $$1-2\sin^2 x-\sin^2 x+\frac12=0$$
   $$-\!3\sin^2 x+\frac32=0$$
   $$\sin^2 x=\frac12.$$

   Значит,
   $$\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$