Упр.7 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 7 Докажите, что sin 10° — иррациональное число.

Предположим, что $$\sin 10^\circ$$ — рациональное число. Тогда

$$\sin 10^\circ=\frac{p}{q},$$

где $$\frac{p}{q}$$ — несократимая дробь.

Используем формулу

$$\sin 30^\circ=3\sin 10^\circ-4\sin^3 10^\circ.$$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ получаем

$$\frac12=3\cdot\frac{p}{q}-4\cdot\frac{p^3}{q^3}.$$

Умножим на $$2q^3$$:

$$q^3=6pq^2-8p^3,$$

то есть

$$q^3=2p(3q^2-4p^2).$$

Следовательно, $$q^3$$ — чётное число, значит, и $$q$$ чётно. Тогда $$q=2n$$.

Подставим это в равенство:

$$8n^3=6p(4n^2)-8p^3,$$

или после упрощения

$$p^3=n^2(3p-n).$$

Значит, $$p^3$$ делится на $$n^2$$. Но дробь $$\frac{p}{q}=\frac{p}{2n}$$ несократима, поэтому $$n=1$$.

Тогда получаем

$$p^3=3p-1,$$

то есть

$$p(p^2-3)= -1.$$

Это невозможно для целого $$p$$. Противоречие.

Следовательно, предположение неверно, и $$\sin 10^\circ$$ — иррациональное число.

Ответ

$$\sin 10^\circ$$ — иррациональное число.