Упр.7.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 7.33* При каких значениях параметра а все решения неравенства 2^(х2 +2х-а2) < 4x содержатся в интервале (-1; 1)? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 7-33 118

Перепишем неравенство в виде

$$2^{x^2+2x-a^2}<2^{2x}.$$

Так как функция $$2^t$$ возрастает, получаем равносильное неравенство

$$x^2+2x-a^2<2x,$$

то есть

$$x^2-a^2<0.$$

Разложим на множители:

$$ (x-a)(x+a)<0. $$

Отсюда решения неравенства:

$$-a<x<a \quad \text{при } a>0,$$

а при $$a\le 0$$ решений нет.

Требуется, чтобы все решения лежали в интервале $$(-1;1).$$

Если $$a>0,$$ то множество решений равно $$(-a;a).$$ Чтобы оно целиком содержалось в $$(-1;1),$$ нужно и достаточно, чтобы $$a\le 1.$$

При $$a=1$$ получаем $$(-1;1),$$ что подходит. При $$0<a<1$$ тоже все решения лежат в $$(-1;1).$$

Если $$a\le 0,$$ решений нет, а значит условие также выполняется.

Итак, подходят все значения параметра

$$a\in(-\infty;0]\cup(0;1].$$

Ответ

$$a\in(-\infty;0]\cup(0;1].$$