Упр.7.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) (корень 32) * 2^-4×2 > =8^3x;
в) 4*(1/2)5×2 < =(1/8)^-3x;
г) 125*(1/5)x2 < =(1/25)^-4x.
а) $$\sqrt{27}\cdot 3^{-6x^2}\ge 9^{4x}$$
Преобразуем к основанию $$3$$:
$$\sqrt{27}=3^{3/2}, \qquad 9^{4x}=(3^2)^{4x}=3^{8x}.$$
Тогда
$$3^{3/2-6x^2}\ge 3^{8x}.$$
Так как основание $$3>1$$, сравниваем показатели:
$$\frac32-6x^2\ge 8x.$$
$$6x^2+8x-\frac32\le 0.$$
Умножим на $$2$$:
$$12x^2+16x-3\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=16^2-4\cdot 12\cdot(-3)=400, \qquad \sqrt D=20.$$
$$x_{1,2}=\frac{-16\pm 20}{24}.$$
$$x_1=-\frac32,\qquad x_2=\frac16.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, получаем
$$x\in\left[-\frac32;\frac16\right].$$
б) $$\sqrt{32}\cdot 2^{-4x^2}\ge 8^{3x}$$
Преобразуем к основанию $$2$$:
$$\sqrt{32}=2^{5/2}, \qquad 8^{3x}=(2^3)^{3x}=2^{9x}.$$
Тогда
$$2^{5/2-4x^2}\ge 2^{9x}.$$
Следовательно,
$$\frac52-4x^2\ge 9x.$$
$$4x^2+9x-\frac52\le 0.$$
Умножим на $$2$$:
$$8x^2+18x-5\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=18^2-4\cdot 8\cdot(-5)=484, \qquad \sqrt D=22.$$
$$x_{1,2}=\frac{-18\pm 22}{16}.$$
$$x_1=-\frac52,\qquad x_2=\frac14.$$
Тогда
$$x\in\left[-\frac52;\frac14\right].$$
в) $$4\cdot \left(\frac12\right)^{5x^2}\le \left(\frac18\right)^{-3x}$$
Преобразуем к основанию $$2$$:
$$4=2^2,\qquad \left(\frac12\right)^{5x^2}=2^{-5x^2},\qquad \left(\frac18\right)^{-3x}=(2^{-3})^{-3x}=2^{9x}.$$
Получаем
$$2^{2-5x^2}\le 2^{9x}.$$
Так как основание $$2>1$$, имеем
$$2-5x^2\le 9x.$$
$$5x^2+9x-2\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=9^2-4\cdot 5\cdot(-2)=121, \qquad \sqrt D=11.$$
$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{10}.$$
$$x_1=-2,\qquad x_2=\frac15.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac15;+\infty\right).$$
г) $$125\cdot \left(\frac15\right)^{x^2}\le \left(\frac1{25}\right)^{-4x}$$
Преобразуем к основанию $$5$$:
$$125=5^3,\qquad \left(\frac15\right)^{x^2}=5^{-x^2},\qquad \left(\frac1{25}\right)^{-4x}=(5^{-2})^{-4x}=5^{8x}.$$
Тогда
$$5^{3-x^2}\le 5^{8x}.$$
Следовательно,
$$3-x^2\le 8x.$$
$$x^2+8x-3\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot(-3)=76, \qquad \sqrt D=2\sqrt{19}.$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 2\sqrt{19}}{2}=-4\pm \sqrt{19}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, получаем
$$x\in(-\infty;-4-\sqrt{19}]\cup[-4+\sqrt{19};+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in\left[-\frac32;\frac16\right]$$; б) $$x\in\left[-\frac52;\frac14\right]$$; в) $$x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac15;+\infty\right)$$; г) $$x\in(-\infty;-4-\sqrt{19}]\cup[-4+\sqrt{19};+\infty)$$.
