Упр.7.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) 16^(корень 3 степени (3x-50)) < 16^(корень 3 степени (2x+20));
в) (х2 - sinx)17 > (х2 + 0,5)17;
г) (х8 + cos х)13 < (х8 - 0,5)13;
д) корень 3 степени (3sin2 х + 4х - 3) > корень 3 степени (-3cos2 х + 2х);
е) корень 5 степени (sin2 х + 12 * 3х — 28) < корень 5 степени (-cos2 х + 9x).
а) Так как основание $$3>1$$, сравниваем показатели:
$$4x+\sin x>\sin x+2$$
$$4x>2$$
$$x>\frac12$$
б) Так как основание $$16>1$$, сравниваем показатели:
$$\sqrt[3]{3x-50}<\sqrt[3]{2x+20}$$
$$3x-50<2x+20$$
$$x<70$$
в) Так как показатель $$17$$ — нечётное число, функция $$t^{17}$$ возрастает на всей числовой прямой, значит:
$$x^2-\sin x>x^2+0{,}5$$
$$-\sin x>0{,}5$$
$$\sin x<-\frac12$$
Отсюда
$$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\,-\frac{\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
г) Аналогично, так как показатель $$13$$ нечётный, получаем:
$$x^8+\cos x<x^8-0{,}5$$
$$\cos x<-\frac12$$
Следовательно,
$$x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
д) Так как функция $$\sqrt[3]{t}$$ возрастает, имеем:
$$3\sin^2 x+4^x-3>-3\cos^2 x+2^x$$
$$3\sin^2 x+3\cos^2 x+4^x-2^x-3>0$$
$$4^x-2^x>0$$
$$2^x(2^x-1)>0$$
Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, то
$$2^x-1>0$$
$$x>0$$
е) Так как функция $$\sqrt[5]{t}$$ возрастает, получаем:
$$\sin^2 x+12\cdot 3^x-28<-\cos^2 x+9^x$$
$$\sin^2 x+\cos^2 x+12\cdot 3^x-3^{2x}-28<0$$
$$1+12\cdot 3^x-3^{2x}-28<0$$
$$-3^{2x}+12\cdot 3^x-27<0$$
Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$-t^2+12t-27<0$$
$$t^2-12t+27>0$$
$$\left(t-3\right)\left(t-9\right)>0$$
Отсюда $$t<3$$ или $$t>9$$, то есть
$$3^x<3 \quad \text{или} \quad 3^x>9$$
$$x<1 \quad \text{или} \quad x>2$$
Ответ
а) $$x\in\left(\frac12;+\infty\right)$$;
б) $$x\in(-\infty;70)$$;
в) $$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\,-\frac{\pi}{6}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
г) $$x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
д) $$x\in(0;+\infty)$$;
е) $$x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)$$.
