Упр.7.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$3^{4x+\sin x}>3^{\sin x+2}$$;
   б) $$16^{\sqrt[3]{3x-50}}<16^{\sqrt[3]{2x+20}}$$;
   в) $$(x^2-\sin x)^{17}>(x^2+0{,}5)^{17}$$;
   г) $$(x^8+\cos x)^{13}<(x^8-0{,}5)^{13}$$;
   д) $$\sqrt[3]{3\sin^2 x+4x-3}>\sqrt[3]{-3\cos^2 x+2x}$$;
   е) $$\sqrt[5]{\sin^2 x+12\cdot 3^x-28}<\sqrt[5]{-\cos^2 x+9x}$$.

1. а) Так как основание $$3>1$$, сравниваем показатели:

   $$4x+\sin x>\sin x+2$$

   $$4x>2$$

   $$x>\frac12$$

2. б) Так как основание $$16>1$$, сравниваем показатели:

   $$\sqrt[3]{3x-50}<\sqrt[3]{2x+20}$$

   $$3x-50<2x+20$$

   $$x<70$$

3. в) Так как показатель $$17$$ — нечётное число, функция $$t^{17}$$ возрастает на всей числовой прямой, значит:

   $$x^2-\sin x>x^2+0{,}5$$

   $$-\sin x>0{,}5$$

   $$\sin x<-\frac12$$

   Отсюда

   $$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\,-\frac{\pi}{6}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

4. г) Аналогично, так как показатель $$13$$ нечётный, получаем:

   $$x^8+\cos x<x^8-0{,}5$$

   $$\cos x<-\frac12$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

5. д) Так как функция $$\sqrt[3]{t}$$ возрастает, имеем:

   $$3\sin^2 x+4^x-3>-3\cos^2 x+2^x$$

   $$3\sin^2 x+3\cos^2 x+4^x-2^x-3>0$$

   $$4^x-2^x>0$$

   $$2^x(2^x-1)>0$$

   Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, то

   $$2^x-1>0$$

   $$x>0$$

6. е) Так как функция $$\sqrt[5]{t}$$ возрастает, получаем:

   $$\sin^2 x+12\cdot 3^x-28<-\cos^2 x+9^x$$

   $$\sin^2 x+\cos^2 x+12\cdot 3^x-3^{2x}-28<0$$

   $$1+12\cdot 3^x-3^{2x}-28<0$$

   $$-3^{2x}+12\cdot 3^x-27<0$$

   Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и

   $$-t^2+12t-27<0$$

   $$t^2-12t+27>0$$

   $$\left(t-3\right)\left(t-9\right)>0$$

   Отсюда $$t<3$$ или $$t>9$$, то есть

   $$3^x<3 \quad \text{или} \quad 3^x>9$$

   $$x<1 \quad \text{или} \quad x>2$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac12;+\infty\right)$$;

б) $$x\in(-\infty;70)$$;

в) $$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\,-\frac{\pi}{6}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;

г) $$x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;

д) $$x\in(0;+\infty)$$;

е) $$x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)$$.