Упр.7.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$5^{x^2-2x}>2^{x-2}$$; б) $$3^{x^2-x}<21^{1-x}$$; в) $$3^{x^2-x}>5^{x-1}$$; г) $$7^{x^2-5x}<6^{5-x}$$.

1. $$5^{x^2-2x}>2^{x-2}$$

   Возьмём логарифм по основанию $$5$$:

   $$x^2-2x>(x-2)\log_5 2$$

   $$x^2-2x-x\log_5 2+2\log_5 2>0$$

   $$x(x-2)-\log_5 2\,(x-2)>0$$

   $$(x-2)(x-\log_5 2)>0$$

   Отсюда

   $$x\in(-\infty;\log_5 2)\cup(2;+\infty).$$

2. $$3^{x^2-x}<21^{1-x}$$

   Так как $$21=3\cdot 7$$, удобно перейти к основанию $$3$$:

   $$3^{x^2-x}<3^{(1-x)\log_3 21}$$

   $$x^2-x<(1-x)\log_3 21$$

   $$x^2-x-(1-x)\log_3 21<0$$

   $$x(x-1)+(x-1)\log_3 21<0$$

   $$(x-1)(x+\log_3 21)<0$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\log_3 21;1).$$

3. $$3^{x^2-x}>5^{x-1}$$

   Возьмём логарифм по основанию $$3$$:

   $$x^2-x>(x-1)\log_3 5$$

   $$x^2-x-(x-1)\log_3 5>0$$

   $$x(x-1)-(x-1)\log_3 5>0$$

   $$(x-1)(x-\log_3 5)>0$$

   Отсюда

   $$x\in(-\infty;1)\cup(\log_3 5;+\infty).$$

4. $$7^{x^2-5x}<6^{5-x}$$

   Возьмём логарифм по основанию $$7$$:

   $$x^2-5x<(5-x)\log_7 6$$

   $$x^2-5x-5\log_7 6+x\log_7 6<0$$

   $$x(x-5)+(x-5)\log_7 6<0$$

   $$(x-5)(x+\log_7 6)<0$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\log_7 6;5).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;\log_5 2)\cup(2;+\infty)$$;

б) $$x\in(-\log_3 21;1)$$;

в) $$x\in(-\infty;1)\cup(\log_3 5;+\infty)$$;

г) $$x\in(-\log_7 6;5)$$.