Упр.7.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Объясните, почему равносильны уравнения:
- $$x+5=2x-3$$ и $$x-2x+5=-3$$;
- $$\frac{1}{2}x^2+1=x^3-x$$ и $$x^2+2=2x^3-2x$$;
- $$(x+1)^2=2x^2$$ и $$x^2+2x+1=2x^2$$;
- $$x^2+x+2-x^3-x+1=0$$ и $$x^2-x^3+3=0$$;
- $$x=1$$ и $$x^3=1$$;
- $$x^5=2$$ и $$x=\sqrt[5]{2}$$;
- $$2^{x+2}=2$$ и $$x+2=1$$;
- $$\sin^3 x=\frac{1}{8}$$ и $$\sin x=\frac{1}{2}$$.
а) Преобразуем первое уравнение:
$$x+5=2x-3$$
$$x-2x=-3-5$$
$$-x=-8$$
$$x=8$$
Второе уравнение:
$$x-2x+5=-3$$
$$x-2x=-3-5$$
$$-x=-8$$
$$x=8$$
Следовательно, уравнения равносильны.
б) Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$\frac{1}{2}x^2+1=x^3-x$$
$$x^2+2=2x^3-2x$$
Второе уравнение после переноса всех слагаемых в одну часть:
$$x^2+2-2x^3+2x=0$$
$$x^2+2=2x^3-2x$$
Получаем одно и то же уравнение, значит, они равносильны.
в) Раскроем скобки в первом уравнении:
$$\left(x+1\right)^2=2x^2$$
$$x^2+2x+1=2x^2$$
Это и есть второе уравнение, значит, они равносильны.
г) Приведём подобные слагаемые в первом уравнении:
$$x^2+x+2-x^3-x+1=0$$
$$x^2-x^3+3=0$$
Это совпадает со вторым уравнением, значит, они равносильны.
д) Уравнение $$x=1$$ равносильно уравнению $$x^3=1$$, так как при возведении обеих частей в куб получаем:
$$x^3=1^3=1$$
И наоборот, из $$x^3=1$$ следует $$x=1$$. Следовательно, уравнения равносильны.
е) Из уравнения $$x^5=2$$ получаем:
$$x=\sqrt[5]{2}$$
Это и есть второе уравнение, значит, они равносильны.
ж) Так как основание степени $$2>0$$ и $$2\neq 1$$, то из равенства
$$2^{x+2}=2$$
следует:
$$x+2=1$$
$$x=-1$$
Следовательно, уравнения равносильны.
з) Используем формулу:
$$\sin 3x=4\sin^3 x-3\sin x$$
Если $$\sin x=\frac{1}{2}$$, то
$$\sin 3x=4\left(\frac{1}{2}\right)^3-3\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1,$$
то есть это не даёт равенства $$\sin 3x=\frac{1}{8}$$. Поэтому данные уравнения не равносильны.
Ответ
а), б), в), г), д), е), ж) — равносильны; з) — неравносильны.
