Упр.7.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) х + 5 = 2х-3 и х-2х + 5 = -3;
б) 1/2 * х2 + 1 = х3 — х и х2 + 2 — 2х3 — 2х;
в) (х + 1)2 = 2х2 и х2 + 2х + 1 = 2х2;
г) х2 + х + 2-х3-х+1=0 и х2-х3 + 3 = 0;
д) х = 1 и х3 = 1;
е) х5 = 2 и х = корень 5 степени 2;
ж) 2^(x+ 2) = 2 и х + 2=1;
з) sin3x = 1/8 и sinx = 1/2.

Подробный ответ

а) Преобразуем первое уравнение:
$$x+5=2x-3$$
$$x-2x=-3-5$$
$$-x=-8$$
$$x=8$$
Второе уравнение:
$$x-2x+5=-3$$
$$x-2x=-3-5$$
$$-x=-8$$
$$x=8$$
Следовательно, уравнения равносильны.
б) Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$\frac{1}{2}x^2+1=x^3-x$$
$$x^2+2=2x^3-2x$$
Второе уравнение после переноса всех слагаемых в одну часть:
$$x^2+2-2x^3+2x=0$$
$$x^2+2=2x^3-2x$$
Получаем одно и то же уравнение, значит, они равносильны.
в) Раскроем скобки в первом уравнении:
$$\left(x+1\right)^2=2x^2$$
$$x^2+2x+1=2x^2$$
Это и есть второе уравнение, значит, они равносильны.
г) Приведём подобные слагаемые в первом уравнении:
$$x^2+x+2-x^3-x+1=0$$
$$x^2-x^3+3=0$$
Это совпадает со вторым уравнением, значит, они равносильны.
д) Уравнение $$x=1$$ равносильно уравнению $$x^3=1$$, так как при возведении обеих частей в куб получаем:
$$x^3=1^3=1$$
И наоборот, из $$x^3=1$$ следует $$x=1$$. Следовательно, уравнения равносильны.
е) Из уравнения $$x^5=2$$ получаем:
$$x=\sqrt[5]{2}$$
Это и есть второе уравнение, значит, они равносильны.
ж) Так как основание степени $$2>0$$ и $$2\neq 1$$, то из равенства
$$2^{x+2}=2$$
следует:
$$x+2=1$$
$$x=-1$$
Следовательно, уравнения равносильны.
з) Используем формулу:
$$\sin 3x=4\sin^3 x-3\sin x$$
Если $$\sin x=\frac{1}{2}$$, то
$$\sin 3x=4\left(\frac{1}{2}\right)^3-3\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1,$$
то есть это не даёт равенства $$\sin 3x=\frac{1}{8}$$. Поэтому данные уравнения не равносильны.