Упр.7.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) 4x < 5^(x-1);
в) 15^(х-4) > 3^(x-3);
г) 6^(x+5) < 3^(x+6).
а) $$5^{x-1} > 4^x$$
Представим правую часть как степень с основанием $$5$$:
$$4^x = 5^{x\log_5 4}$$
Тогда
$$5^{x-1} > 5^{x\log_5 4}$$
Так как основание $$5>1$$, сравниваем показатели:
$$x-1 > x\log_5 4$$
$$x(1-\log_5 4) > 1$$
Поскольку $$1-\log_5 4 > 0$$, получаем
$$x > \frac{1}{1-\log_5 4}$$
б) $$4^x < 5^{x+1}$$
Запишем левую часть через основание $$5$$:
$$4^x = 5^{x\log_5 4}$$
Тогда
$$5^{x\log_5 4} < 5^{x+1}$$
Следовательно,
$$x\log_5 4 < x+1$$
$$x(\log_5 4-1) < 1$$
Так как $$\log_5 4-1 < 0$$, знак неравенства при делении меняется:
$$x > \frac{1}{\log_5 4-1}$$
Удобнее записать так:
$$x > \frac{1}{1-\log_5 4}$$
в) $$15^{x-4} > 3^{x-3}$$
Представим $$15$$ как $$3\cdot 5$$:
$$15^{x-4} = (3\cdot 5)^{x-4}$$
Перепишем неравенство через логарифм по основанию $$15$$:
$$x-4 > (x-3)\log_{15} 3$$
$$x — x\log_{15} 3 > 4 — 3\log_{15} 3$$
$$x(1-\log_{15} 3) > 4 — 3\log_{15} 3$$
Так как $$1-\log_{15} 3 > 0$$, получаем
$$x > \frac{4-3\log_{15} 3}{1-\log_{15} 3}$$
Заметим, что
$$\log_{15} 3=\frac{1}{1+\log_3 5}$$
и после упрощения получаем
$$x > 3+\log_3 5$$
г) $$6^{x+5} < 3^{x+6}$$
Запишем $$6=2\cdot 3$$:
$$6^{x+5} = (2\cdot 3)^{x+5}$$
Тогда
$$2^{x+5}3^{x+5} < 3^{x+6}$$
Разделим обе части на $$3^{x+5}$$:
$$2^{x+5} < 3$$
$$x+5 < \log_2 3$$
$$x < \log_2 3 — 5$$
Ответ
а) $$x \in \left(\frac{1}{1-\log_5 4},+\infty\right)$$; б) $$x \in \left(\frac{1}{1-\log_5 4},+\infty\right)$$; в) $$x \in \left(3+\log_3 5,+\infty\right)$$; г) $$x \in \left(-\infty,\log_2 3-5\right)$$.
