Упр.7.28 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) (2/7)^(3-x) < (7/2)^(3x-1); в) (3/4)^(1-2x) > (4/3)^(x+5);
г) (2/3)^(3x-7) > (3/2)^(4x+1).

Во всех неравенствах приводим основания степеней к одному виду и сравниваем показатели, учитывая, что при основании $$a>1$$ знак неравенства сохраняется, а при $$0<a<1$$ — меняется.

1. $$\left(\frac25\right)^{4-x}<\left(\frac52\right)^{2x+1}$$

   Так как $$\frac25=\left(\frac52\right)^{-1},$$ получаем

   $$\left(\frac52\right)^{x-4}<\left(\frac52\right)^{2x+1}.$$

   Основание $$\frac52>1,$$ значит

   $$x-4<2x+1,$$

   $$-x<5,$$

   $$x>-5.$$

2. $$\left(\frac27\right)^{3-x}<\left(\frac72\right)^{3x-1}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\left(\frac72\right)^{x-3}<\left(\frac72\right)^{3x-1}.$$

   Так как $$\frac72>1,$$ имеем

   $$x-3<3x-1,$$

   $$-2<2x,$$

   $$x>-1.$$

3. $$\left(\frac34\right)^{1-2x}>\left(\frac43\right)^{x+5}$$

   Так как $$\frac34=\left(\frac43\right)^{-1},$$ получаем

   $$\left(\frac43\right)^{2x-1}>\left(\frac43\right)^{x+5}.$$

   Основание $$\frac43>1,$$ значит

   $$2x-1>x+5,$$

   $$x>6.$$

4. $$\left(\frac23\right)^{3x-7}>\left(\frac32\right)^{4x+1}$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\left(\frac32\right)^{7-3x}>\left(\frac32\right)^{4x+1}.$$

   Так как $$\frac32>1,$$ имеем

   $$7-3x>4x+1,$$

   $$-7x>-6,$$

   $$x<\frac67.$$

Ответ

а) $$x>-5$$; б) $$x>-1$$; в) $$x>6$$; г) $$x<\frac67$$.