Упр.7.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$4^{2x-7} > 2^{3x+1}$$;
   б) $$5^{3x-1} < 25^{x+1}$$;
   в) $$7^{5x+1} < 49^{x-2}$$;
   г) $$8^{x+1} > 64x$$.

1. а) $$4^{2x-7} > 2^{3x+1}$$

   Представим левую часть как степень двойки: $$4=2^2$$, тогда

   $$(2^2)^{2x-7} > 2^{3x+1}$$

   $$2^{4x-14} > 2^{3x+1}$$

   Так как основания одинаковые и больше 1, сравниваем показатели:

   $$4x-14 > 3x+1$$

   $$x > 15$$

2. б) $$5^{3x-1} < 25^{x+1}$$

   Преобразуем правую часть: $$25=5^2$$.

   $$5^{3x-1} < (5^2)^{x+1}$$

   $$5^{3x-1} < 5^{2x+2}$$

   Сравниваем показатели:

   $$3x-1 < 2x+2$$

   $$x < 3$$

3. в) $$7^{5x+1} < 49^{x-2}$$

   Так как $$49=7^2$$, получаем:

   $$7^{5x+1} < (7^2)^{x-2}$$

   $$7^{5x+1} < 7^{2x-4}$$

   Сравниваем показатели:

   $$5x+1 < 2x-4$$

   $$3x < -5$$

   $$x < -\frac{5}{3}$$

4. г) $$8^{x+1} > 64^x$$

   Представим основания как степени числа $$2$$: $$8=2^3$$, $$64=2^6$$.

   $$(2^3)^{x+1} > (2^6)^x$$

   $$2^{3x+3} > 2^{6x}$$

   Сравниваем показатели:

   $$3x+3 > 6x$$

   $$3 > 3x$$

   $$x < 1$$

Ответ

а) $$x \in (15;+\infty)$$; б) $$x \in (-\infty;3)$$; в) $$x \in \left(-\infty;-\frac{5}{3}\right)$$; г) $$x \in (-\infty;1)$$.