Упр.7.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) 5^(3х-1) < 25^(х+ 1); в) 7^(5х + 1) < 49^(х-2); г) 8^(х + 1) > 64х.

1. а) $$4^{2x-7} > 2^{3x+1}$$

   Представим левую часть как степень двойки: $$4=2^2$$, тогда

   $$ (2^2)^{2x-7} > 2^{3x+1} $$

   $$ 2^{4x-14} > 2^{3x+1} $$

   Так как основания одинаковые и больше 1, сравниваем показатели:

   $$ 4x-14 > 3x+1 $$

   $$ x > 15 $$

2. б) $$5^{3x-1} < 25^{x+1}$$

   Преобразуем правую часть: $$25=5^2$$.

   $$ 5^{3x-1} < (5^2)^{x+1} $$

   $$ 5^{3x-1} < 5^{2x+2} $$

   Сравниваем показатели:

   $$ 3x-1 < 2x+2 $$

   $$ x < 3 $$

3. в) $$7^{5x+1} < 49^{x-2}$$

   Так как $$49=7^2$$, получаем:

   $$ 7^{5x+1} < (7^2)^{x-2} $$

   $$ 7^{5x+1} < 7^{2x-4} $$

   Сравниваем показатели:

   $$ 5x+1 < 2x-4 $$

   $$ 3x < -5 $$

   $$ x < -\frac{5}{3} $$

4. г) $$8^{x+1} > 64^x$$

   Представим основания как степени числа $$2$$: $$8=2^3$$, $$64=2^6$$.

   $$ (2^3)^{x+1} > (2^6)^x $$

   $$ 2^{3x+3} > 2^{6x} $$

   Сравниваем показатели:

   $$ 3x+3 > 6x $$

   $$ 3 > 3x $$

   $$ x < 1 $$

Ответ

а) $$x \in (15;+\infty)$$; б) $$x \in (-\infty;3)$$; в) $$x \in \left(-\infty;-\frac{5}{3}\right)$$; г) $$x \in (-\infty;1)$$.