Упр.7.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 7.25. Решите неравенства:
а) $$\left(6\sin 2x-5\right)^{13}<\left(2\sin 2x-2\right)^{13};$$
б) $$\left(6\cos 2x-3\right)^3>\left(2\cos 2x-1\right)^3;$$
в) $$\left(2x+7\right)^9>\left(3\cdot 2x+1\right)^9;$$
г) $$\left(2\cdot 3x-1\right)^{51}<\left(3x+8\right)^{51}.$$
а) Так как функция $$f(t)=t^{13}$$ возрастает, то достаточно сравнить основания:
$$6\sin^2 x-5<2\sin^2 x-2$$
$$4\sin^2 x<3$$
$$\sin^2 x<\frac34$$
$$1-\cos^2 x<\frac34$$
$$\cos^2 x>\frac14$$
$$|\cos x|>\frac12$$
Отсюда
$$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
б) Так как функция $$f(t)=t^3$$ возрастает, имеем:
$$6\cos^2 x-3>2\cos^2 x-1$$
$$4\cos^2 x>2$$
$$\cos^2 x>\frac12$$
$$\frac{1+\cos 2x}{2}>\frac12$$
$$\cos 2x>0$$
Следовательно,
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<2x<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$
то есть
$$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
в) Так как функция $$f(t)=t^9$$ возрастает, то
$$2^x+7>3\cdot 2^x+1$$
$$-2\cdot 2^x>-6$$
$$2^x<3$$
$$x<\log_2 3.$$
г) Так как функция $$f(t)=t^{51}$$ возрастает, получаем:
$$2\cdot 3^x-1<3^x+8$$
$$3^x<9$$
$$x<2.$$
Ответ
а) $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\frac{\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$; б) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi k;\,\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$; в) $$x<\log_2 3$$; г) $$x<2$$.
