Упр.7.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 7.21 а) 4х + 2х + х2 < х2 + 6; б) 27х + 9х > 3х + 6 + 27х

а)

$$4^x+2^x+2^{2x}<2^{2x}+6$$

Сократим одинаковые слагаемые:
$$4^x+2^x-6<0$$

Положим $$t=2^x$$, тогда $$4^x=(2^x)^2=t^2$$. Получаем:
$$t^2+t-6<0$$

Разложим на множители:
$$t^2+t-6=(t+3)(t-2)$$

Тогда
$$ (t+3)(t-2)<0 $$

Отсюда
$$-3<t<2$$

Так как $$t=2^x>0$$, то остаётся
$$0<2^x<2$$

Следовательно,
$$x<1$$

б)

$$27^x+9^x>3^x+6+27^x$$

Сократим $$27^x$$:
$$9^x-3^x-6>0$$

Положим $$t=3^x$$, тогда $$9^x=(3^x)^2=t^2$$. Получаем:
$$t^2-t-6>0$$

Разложим на множители:
$$t^2-t-6=(t-3)(t+2)$$

Тогда
$$ (t-3)(t+2)>0 $$

Отсюда
$$t<-2 \quad \text{или} \quad t>3$$

Но $$t=3^x>0$$, значит подходит только
$$3^x>3$$

Следовательно,
$$x>1$$

Ответ

а) $$x<1$$; б) $$x>1$$.