Упр.7.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 7.20* а) cos 2х + 3 sin2 х + 2 sin х < 4; б) cos 2х - cos2х - 2 cos х < -2.

а) Преобразуем неравенство, используя формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$ \cos 2x+3\sin^2 x+2\sin x<4 $$

$$ 1-2\sin^2 x+3\sin^2 x+2\sin x<4 $$

$$ \sin^2 x+2\sin x-3<0 $$

Сделаем замену $$t=\sin x$$. Тогда получаем:

$$ t^2+2t-3<0 $$

$$ (t+3)(t-1)<0 $$

Отсюда $$t\in(-3;1)$$. Так как $$t=\sin x$$ и $$-1\le \sin x\le 1$$, то остаётся:

$$ -1\le \sin x<1 $$

То есть все значения $$x$$, при которых $$\sin x\ne 1$$:

$$ x\ne \frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

б) Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$ \cos 2x-\cos^2 x-2\cos x<-2 $$

$$ 2\cos^2 x-1-\cos^2 x-2\cos x<-2 $$

$$ \cos^2 x-2\cos x+1<0 $$

$$ (\cos x-1)^2<0 $$

Квадрат числа не может быть отрицательным, значит решений нет.

Ответ

а) $$x\ne \frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$; б) решений нет.